Abstract FR:

Pose au debut des annees 80 par a. Katok et m. Gromov, le probleme riemannien de l'entropie minimale a recu une reponse positive en 1994 grace aux resultats de g. Besson, g. Courtois et s. Gallot. Comme un prolongement de ce travail, l'objet de cette these est l'etude du minimum des entropies volumique et topologique pour les metriques de finsler qui constituent la plus petite extension de la geometrie de riemann. Les trois premiers chapitres conduisent a la construction explicite d'un contre-exemple general a la conjecture finslerienne de l'entropie volumique minimale sur les espaces riemanniens compacts, localement symetriques, de type non-compact et de rang au moins egal a deux. De plus, ce contre-exemple est l'unique minimum de l'entropie volumique parmi les metriques de finsler g-invariantes normalisees par le volume finslerien de la variete. Dans une deuxieme partie, relative au cas du rang un et regroupant les chapitres iv et v, on prouve, avec la meme normalisation que precedemment, le caractere critique des metriques riemanniennes hyperboliques pour l'entropie topologique sur l'ensemble de toutes les metriques de finsler d'une variete compacte de dimension quelconque. Par ailleurs, nous obtenons un resultat identique pour les surfaces compactes en normalisant par le volume de liouville des fibres spheriques, et ce, apres avoir montre que les deux manieres de normaliser ne sont pas equivalentes dans le cadre de la geometrie finslerienne