Abstract FR:

L'objet de ce travail est de présenter une approche numérique pour tracer le plus court chemin entre deux points fixes sur une surface plongée dans l'espace euclidien. Classiquement, le problème est ramené à la résolution numérique d'un système différentiel du second ordre avec conditions aux limites. Cette méthode n'est valable que si la surface est régulière et la métrique correspondante est à variation lente. De plus, on ne connaît guère de méthode crédible si la surface présente des singularités ou des obstacles. La méthode numérique présentée ici, est basée sur des variations aléatoires. On considère une courbe discrète initiale située sur la surface et passant par les deux points fixes, on modifie les positions de ces points en choisissant des directions au hasard, tout en minimisant l'énergie. La répétition de cette procédure nous permet d'obtenir une bonne approximation de la courbe réalisant le plus court chemin. L'étude est principalement expérimentale, un algorithme est mis au point. Il est testé dans de nombreux cas ou les géodésiques sont connues en comparant les résultats à ceux donnés par l'intégration du système différentiel d'Euler-Lagrange. L'usage de cet algorithme est étendu aux cas des métriques sensibles aux variations de la vitesse initiale et à des surfaces présentant des obstacles