Abstract FR:

Dans ce travail, nous étudions trois sujets liés à l'opérateur de Yang-Baxter: algèbres d'endormorphismes et la q-trace, constructions d'algèbres de Yang-Baxter et de cogèbres de Yang-Baxter, algèbres SB_\inftyS quantiques et algèbres de quasi-battage quantiques. Ce sont des quantifications d'objets familiers correspondants au sens où le flip classique est remplacé par un tressage. Ce travail est divisé en trois chapitres. Chapitre 1: Soit S(V, \sigma)S un espace avec un tressage S\sigmaS de type de Hecke et tel que S \dirn S_\sigma＾i(V) = 1S pour certain suffisamment grand i. Nous étudions l'algèbre d'endomorphismes S\oplus_{k = 1} ＾ i EndS_\sigma＾k (V) S. Après avoir défini trois produits associatifs sur cet espace, nous construisons une q-analogue de la trace classique, appelée q-trace, de tout endomorphisme de S S_\sigmaAk (V) S. Cette nouvelle trace est un morphisme de l'algèbre si on considère le troisième produit. Et nous montrons que cette q-trace est proportionnele à la trace quantique. Chapitre 2: Nous présentons des méthodes pour construire des algèbres de Yang-Baxter et des cogèbres de Yang-Baxter. Ils comprennent: modules de Yetter-Drinfel'd avec conditions de compatibilité supplémentaires, algèbres de battage quantiques et algèbres S B_\inftyS quantiques. L'algèbre S B_\inftyS quantique est une généralisation de l'algèbre de Yang-Baxter et de l'algèbre SB_\infty S. Nous également introduisons l'algèbre de 2-YB qui est motivée par les travaux de Loday et Ronco. Ils fournissent des algèbres SB_\inftyS quantiques. Chapitre 3: Nous définissons l'algèbre de quasi-battage quantique par algèbres SB_\inftyS quantiques, dans l'espritde l'algèbre de battage quantique intruduite par Rosso. Nous étudions des propriétés de ces algèbres de quasi- battage quantiques. Par exemple, la propriété universelle, la commutativité, etc.