Abstract FR:

On s'interesse au phenomene d'explosion en temps fini dans les equations du type : u/t = u + |u|#p#-#1u (1) ou u : (x,t) , r#n 0,t) r, 1 < p, (n 2)p < n + 2. Dans une premiere direction, on construit pour (1) une solution u qui explose en temps fini t > 0 en un seul point d'explosion x#0 , r#n, et on decrit completement le profil (ou comportement asymptotique) de u a l'explosion. Cette construction s'appuie sur la technique d'estimations a priori des solutions explosives de (1) qui permet une reduction en dimension finie du probleme, et sur un lemme de type brouwer. La methode utilisee permet de degager un resultat de stabilite du comportement de la solution construite par rapport a des perturbations dans les donnees initiales ou dans le terme non lineaire de reaction. De plus, la methode se generalise a des equations vectorielles de type chaleur avec non-linearite sans structure de gradient, ainsi qu'au traitement d'un probleme de reconnexion d'un vortex avec la paroi en supra-conductivite. Dans une seconde direction, on s'interesse a l'equation suivante associee a (1) : w/s = w 1/2y. *w w/p 1 + w#p, (2) et on demontre un theoreme de liouville qui donne une classification des solutions de (2) globales en temps et en espace et uniformement bornees. On obtient egalement une propriete de localisation de l'equation (1) (si u 0) qui permet de la comparer de facon precise a la solution de l'equation differentielle associee. Enfin, on s'interesse de nouveau a la notion de profil et on utilise les estimations qui decoulent du theoreme de liouville pour prouver un resultat d'equivalence de differentes notions de profils d'explosion ou de developpement asymptotique de u au voisinage de x#0 point d'explosion, en variable x,y = x x#0/t t ou z = x x#0/(t t)|log(t t)|.