Abstract FR:

Cette these presente des methodes numeriques proximales nouvelles pour la resolution des problemes d'optimisation et d'inegalites variationnelles. L'attention a ete essentiellement concentree sur la construction de methodes de lagrangien augmente avec un lagrangien ayant des proprietes particulierement interessantes, mais les notions introduites ont permis d'envisager d'autres applications, en particulier concernant les penalisations exterieures et les methodes de decomposition. Nous introduisons une nouvelle classe de fonctions pour laquelle les resultats vont etre grandement ameliores. Nous montrons la convergence globale de la suite generee. De plus, cette methode appliquee au probleme d'optimisation classique avec contraintes d'inegalites (p c) va donner un lagrangien modifie qui fournit une suite primale bornee si l'ensemble de solutions optimales est un compact, et dont les valeurs d'adherence sont optimales. La methode a ete etendue a des polyhedres convexes et une etude de rapidite a ete faite dans le cas de la programmation lineaire montrant que la suite f (x k) converge globalement de facon quadratique vers f *. En particulier, dans le cas ou est la fonction log-quad, il a ete demontre que pour la programmation quadratique, ce nouveau lagrangien est self-concordant et pour la programmation lineaire son hessien est lipschitzien sur tout l'espace. Ces proprietes sont absolument remarquables si l'on veut utiliser la methode de newton. La methode a ete etendue aux problemes d'inegalites variationnelles, avec des operateurs maximaux monotones et sous contraintes lineaires ; on a ainsi aboutit a une methode qui genere une suite convergeante vers une solution optimale, sous la seule condition qu'une telle solution existe. En plus, nous nous sommes interesses aux algorithmes de decomposition par blocs ou on a obtenu une nouvelle methode en couplant notre methode avec la methode classique de gauss-seidel.