Algorithmes pour la décomposition primaire des idéaux polynomiaux de dimension nulle donnés en évaluation
Institution:
Versailles-St Quentin en YvelinesDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Nowadays, polynomial system solvers are involved in sophisticated computations in algebraic geometry as well as in practical engineering. The most popular algorithms are based on Gr¨obner bases, resultants, Macaulay matrices, or triangular decompositions. In all these algorithms, multivariate polynomials are expanded in a monomial basis, and the computations mainly reduce to linear algebra. The major drawback of these techniques is the exponential explosion of the size of eliminant polynomials. Alternatively, the Kronecker solver uses data structures to represent the input polynomials as the functions that compute their values at any given point. In this PhD thesis we give a concise presentation of the Kronecker solver, with a self-contained proof of correctness. Our proofs closely follow the algorithms, and as consequences, we obtain some classical results in algebraic geometry such as a B´ezout Theorem. Beyond their pedagogical interest, these new proofs allow us to discard some regularity hypotheses, and so to enhance the solver in order to compute the multiplicities of the zeros without any extra cost. At last, we design a new algorithm for primary decomposition of a zero-dimensional polynomial ideal. We also give a cost analysis of this algorithm, which is polynomial in the number of variables, in the evaluation cost of the input system, and in a B´ezout number. Keyword: algorithm, polynomial solving, primary decomposition, complexity, effective algebraic geometry.
Abstract FR:
Les algorithmes de résolution polynomiale sont impliqués dans des outils sophistiqués de calcul en géométrie algébrique aussi bien qu’en ingénierie. Les plus populaires d’entre eux reposent sur des bases de Gröbner, des matrices de Macaulay ou des décompositions triangulaires. Dans tous ces algorithmes, les polynômes sont développés dans une base des monômes et les calculs utilisent essentiellement des routines d’algèbre linéaire. L’inconvénient majeur de ces méthodes est l’explosion exponentielle du nombre de monômes apparaissant dans des polynômes éliminants. De manière alternative, l’algorithme Kronecker manie des polynômes codés comme la fonction qui calcule ses valeurs en tout point. Dans cette thèse, nous donnons une présentation concise de ce dernier algorithme, ainsi qu’une preuve autonome de son bon fonctionnement. Toutes nos démonstrations sont intimement liées aux algorithmes, et ont pour conséquence des résultats classiques en géométrie algébrique, comme un théorème de Bézout. Au delà de leur intérêt pédagogique, ces preuves permettent de lever certaines hypothèses de régularité, et donc d’étendre l’algorithme au calcul des multiplicit és sans coût supplémentaire. Enfin, nous présentons un algorithme de décomposition primaire pour les idéaux de polynômes de dimension nulle. Nous en donnons également une étude de complexité précise, complexité qui est polynomiale en le nombre de variables, en le coût d’évaluation du système, et en un nombre de Bézout. Mots clefs : algorithme, résolution polynomiale, décomposition primaire, complexité, géométrie algébrique effective.