Abstract FR:

L'objet de cette these est l'etude des proprietes arithmetiques, geometriques et dynamiques engendrees par une classe de compacts de r#n, associee a des systemes dynamiques symboliques provenant de substitutions. Les compacts que nous etudions ont la particularite d'etre connexes, a l'interieur simplement connexe, a frontiere fractale et ils induisent un pavage periodique de r#n. Ces ensembles sont appeles fractals. Pour ne pas avoir une terminologie lourde, nous traitons le cas du fractal de rauzy. Dans le deuxieme chapitre, nous etudions les proprietes du fractal de rauzy et faisons une synthese de toutes les methodes de sa construction. Ensuite, nous nous interessons a sa frontiere. Le probleme de la frontiere du fractal de rauzy est equivalent au probleme des developpements impropres des complexes dans une base complexe ( entier algebrique) avec des chiffres dans un ensemble fini. Nous construisons un automate fini reconnaissant ces developpements, ce qui nous permet de parametriser la frontiere du fractal de rauzy, de calculer sa dimension de hausdorff et de montrer que c'est un quasi-cercle. Dans le troisieme chapitre, nous donnons une methode de construction des points strictement extremaux du fractal de rauzy. Cette construction permet de determiner l'enveloppe convexe du fractal de rauzy. Dans le quatrieme chapitre, nous etudions la dynamique du fractal de rauzy. Nous explicitons son lien avec un systeme dynamique symbolique substitutif, un systeme adique stationnaire et avec le codage d'un automorphisme hyperbolique du tore t#3. Dans le cinquieme chapitre, nous presentons une methode geometrique liee au fractal de rauzy pour calculer la fonction de recurrence du point fixe de la substitution de rauzy. Dans le dernier chapitre, nous etudions l'associativite de la multiplication de fibonacci (loi de composition interne sur n definie par d. Knuth) associee a une classe de suites recurrentes d'ordre deux et a la suite de tribonacci (t#n) (t#n#+#2 + t#n#+#1 + t#n)