Contributions à l'analyse mathématique et au calcul des modes guides des fibres optiques
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This work deals with the mathematical and numerical analysis of propagation characteristics of guided modes of several dielectric structures: Optical fibers, half couplers and optical couplers. From the mathematical view-point we first study a scalar equation which modelize the propagation under the assumptions of weak guidance. Then we analyse the complete system of the Maxwell equations. These studies are based on the spectral theory of self-adjoint operators. We etablish , by the Max-Min principle, the dispersion relation between the frequency and the propagation constant. Then we give a detailed description of the dispersion curves: framing, dependance with respect to the index profile, asymptotic behaviour, cut-off. . . From the numerical point of view, we propose an original method, based on integral representation, to calculate the propagation constants and the cut-off frequencies of guided modes of step-index profile fibers with arbitrarily shaped cross sections. The case of an optical couplers is also treated by this method with an appropriate adaptation. We end this work by making various numerical simulations in order to validate our approximation method. The conclusion is that our method is well adapted to the computation of the optical structures presented above: good accuracy and reasonnable cost.
Abstract FR:
Il s'agit d'étudier du point de vue mathématique et numérique les caractéristiques de propagation des modes guidés de diverses structures diélectriques: fibres optiques, fibres optiques à graine abrasée, coupleurs optiques. Sur le plan mathématique, nous traitons tout d'abord l'équation scalaire valable en régime de faible guidage puis le système couplé des équations de Maxwell. Nous menons cette étude en nous appuyant sur la théorie spectrale des opérateurs autoadjoints. Nous établissons à l’aide au principe au Min-Max l’équation de dispersion reliant les constantes de propagation au nombre d’onde. La suite du travail repose alors sur l'étude fine de ces courbes de dispersion: encadrement, dépendance par rapport au profil d’indice, comportement asymptotique, seuils,. . . Sur le plan numérique, nous proposons une méthode originale, à base de représentation intégrale pour calculer les constantes de propagation et les fréquences de coupure des modes guidés d’une fibre optique. Les simulations numériques effectuées pour la validation de cette méthode de résolution montrent qu'elle est très bien adaptée pour mener ce type calcul: bonne précision et faible coût.