Sur la discrétisation et le comportement à petit bruit d'EDS unidimensionnelles dont les coefficients sont à dérivées singulières
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Abstract EN:
The first part of this thesis is devoted to the approximation of one-dimensional stochastic differential equations (SDE) with non Lipschitz coefficients. More precisely, we consider two classes of equations which are often used in finance. We first consider a generalization of Cox-Ingersoll-Ross and Hull & White models ; the drift coefficient has bounded derivatives whereas the diffusion coefficient is of type σ (x) = xα, with ½ ≤ α < 1. We then consider a SDE solved by a Bessel process ; the drift coefficient is of type C on α, with C > 0 and thus presents a singularity at zero. Under our assumptions, one has existence and uniqueness of solution with almost surely strictly positive trajectories. For these two SDE’s we propose a discretization schemes which preserve the positivity of the approximated processes. On one hand we obtain the convergence rate in the weak sense when the test functions are smooth. On the other hand, we analyze the convergence rate in the strong sense in the case where the diffusion coefficient is of type σ (x) = xα. In the second part of this thesis, we consider the problem of the asymptotic behaviour of the solution of a parabolic partial differential equation (PDE) with discontinuous first order coefficient when the viscosity goes to zero. Under a monotonicity assumption on the first order coefficient, we show that the solution converges weakly towards the “measure solution” of the corresponding transport equation.
Abstract FR:
La première partie de cette thèse traite de l’approximation de solutions d’équations différentielles stochastiques unidimensionnelles à coefficients non Lipschitziens. Notre attention s’est focalisée sur deux classes d’équations très utilisées en finance. Nous considérons d’abord une généralisation des modèles de Cox-Ingersoll-Ross et de Hull & White ; le coefficient de dérive est à dérivées bornées, alors que le coefficient de diffusion est du type σ (x) = xα, avec ½ ≤ α < 1. Nous considérons ensuite l’EDS vérifiée par un processus de Bessel ; le coefficient de dérive est du type C sur x, avec C > 0 et présente donc une singularité en zéro. Nous nous plaçons sous des hypothèses qui assurent l’existence et l’unicité de solutions à trajectoires strictement positives presque sûrement et proposons des schémas de discrétisation qui préservent la positivité des processus approchés. Nous obtenons d’une part la vitesse de convergence faible des schémas pour une classe de fonctions tests régulières et, d’autre part, nous analysons par une méthode de changement de temps la vitesse de convergence forte du schéma dans le cas où le coefficient de diffusion est du type σ (x) = xα. La deuxième partie de la thèse aborde le problème du comportement asymptotique de la solution d’une équation aux dérivées partielles (EDP) parabolique à coefficient du premier ordre discontinu lorsque la viscosité tend vers zéro. Nous montrons que sous une hypothèse de monotonie sur le coefficient du premier ordre, la solution converge faiblement vers la « solution mesure » de l’équation de transport associée.