Abstract FR:

On etudie l'homogeneisation de systemes elliptiques lineaires : (1)**(epsilon ) - d rond ::(i)(a::(i)**(alpha jbeta epsilon )(x)d rond ::(j)u**(epsilon )::(beta )) = f::(alpha ) dans omega (omega ouvert borne de r**(n)), a::(i)**(alpha jbeta epsilon ) est l'element generique d'une matrice uniformement coercive et bornee par rapport a epsilon. On demontre qu'il existe une sous suite epsilon ' et une matrice a::(i)**(alpha jbeta o) coercive et a coefficient l**(infini) tel que la solution u**(epsilon ') de (1)::(epsilon ') converge vers u**(o) solution du systeme (1)::(o) dans (h::(o)**(1)(omega ))**(n) faible. On emploie la methode de l'energie introduite par l. Tartar dans le cas scalaire et qui s'adapte de facon naturelle au cas vectoriel. On considere l'homogeneisation de deux systemes elliptiques quasilineaires lies a (1)::(epsilon ); dans le premier, la matrice aepsilon depend egalement de u**(epsilon ); dans le deuxieme, f::(alpha ) depend de grad u**(epsilon ) : f::(alpha )(x,grad u**(epsilon )). On traite deux exemples : celui de couches et celui des systemes a coefficients periodiques oscillants. On demontre l'existence de points d'equilibre de nash dans (h::(o)**(1)(omega ))**(n) x (h::(o)**(1)(omega ))**(n)::(n) pour des fonctionnelles j et k du probleme (p) : trouver (u,v) appartient a (h::(o)**(1)(omega ))**(n) x (h::(o)**(1)(omega ))**(n) tel que j(u,v) <ou= j(u,v), pour tout u appartient a (h::(o)**(1)(omega ))**(n); k(u,v) <ou= k(u,v) pour tout v appartient a (h::(o)**(1)(omega ))**(n) ou j(u,v) = som::(omega )(phi (x,u,v) + f(x,u,v,du,dv))dx et k(u,v) = som::(omega )(psi (x,u,v) + g(x,u,v,du,dv))dx