Abstract FR:

Cette thèse est divisée en quatre chapitres. On consacre le chapitre 1 à l'étude d'une méthode, dite de centres, introduite par Huard pour résoudre un problème d'optimisation avec contraintes. On montre sa convergence globale et on montre que sa vitesse de convergence est linéaire. Ensuite, on met en évidence l'influence du scaling sur cette vitesse. On montre également que l'algorithme de O. Pironneau et E. Polak, qui est une implémentation de la méthode des centres de Huard, et la version approchée de la méthode sont globalement convergents. La vitesse de convergence de la méthode ne peut être plus que linéaire, on introduit alors une autre méthode de centres qui englobe celle de huard et dont la vitesse de convergence est au moins super-linéaire. Dans le chapitre 2 on s'intéresse a la programmation fractionnaire généralisée. Dans un premier temps on expose l'algorithme de Dinkelbach et deux algorithmes principaux en programmation fractionnaire généralisée. A chaque étape de ces algorithmes, des problèmes auxiliaires avec contraintes apparaissent. On modifie ces algorithmes, en utilisant la méthode de centres, pour n'avoir que des sous problèmes sans contraintes. On montre ensuite que dans le cadre convexe, l'algorithme modifie converge linéairement. Dans le chapitre 3, on reprend un travail dû à Auslender qui combine la méthode des centres avec l'algorithme proximal. L’algorithme modifie obtenu ne diffère alors pas beaucoup de celui de Auslender et est globalement convergent. Pour certaines classes de fonctions, on montre que la vitesse de convergence est linéaire. Dans le chapitre 4 on étudie des schémas de perturbations de la méthode. On retrouve dans ce chapitre, entre autre, certains résultats du chapitre 1 et les méthodes de pénalisation intérieures.