Contribution à la théorie des grandes déviations et applications
Institution:
Marne-la-Vallée, ENPCDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis focuses on the change of measure and its links with the entropy in the context of large deviations. We first present basic large deviations techniques settling the framework; the change of measure is set out together with properties of the entropy and related results (weak LDP. . . ) for i. I. D. Variables and Markov processes. Then some notions somehow naturally appear: Ruelle-Lanford fonctions, empirical generators, etc. The analysis can be pursued forther into several directions: weak LDP theory, Martin boundary, calculus of "quasi-harmonie" fonctions in networks (related to the tails of stationary distributions), asymptotic calculations and extension of these techniques to semi-Markov processes. A unity of structure in these problems is exhibited by means of the entropy fonction. The second part of the thesis contains articles to appear: LDP for Markov chains in discrete and continuous time; LDP for some, polling networks.
Abstract FR:
La théorie des grandes déviations a pour objet l'étude asymptotique d'événements rares. Cette thèse développe la technique dite de changement de mesure et ses relations avec l'entropie. Après une présentation des techniques de base, on expose différents aspects du changement de mesure, quelques propriétés de l'entropie et les résultats attenants (PGD faibles. . . ) pour les variables i. I. D. Et les chaînes de Markov (en temps discret ou continu). On montre comment certains objets ou concepts naturels apparaissent - générateurs empiriques, fonctions de Ruelle-Lanford, etc. On s'aperçoit alors que l'analyse peut être poussée dans plusieurs directions : théorie du PGD faible, frontière de Martin (étude de comportements non-stationnaires), calcul de fonctions « quasi-harmoniques » dans certains réseaux (en vue d'estimer les queues de la distribution stationnaire), développement asymptotique d'ordre plus élevé (et calcul de variance). Ces techniques sont généralisables aux processus semi-markoviens. L'entropie est un dénominateur commun à tous ces problèmes. La seconde partie de ce document présente les résultats achevés et en cours de publication : PGD pour les chaînes de Markov et pour une classe de réseaux à polling.