Exponentiation of set-valued maps and applications
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Abstract EN:
In this thesis, we presented our contribution to the computation of fixed-points for both linear and nonlinear equations. We introduced a new method for computing fixed points of a class of iterated functions in a finite time, by exponentiating linear multivalued operators. In order to illustrate our approach and show that this method can give fast and accurate results for both linear and non linear equations, we have chosen two well-known applications which are difficult to handle by usual techniques, for linear equations case. First, we apply the exponentiation of linear operators to a digital filter in order to get a fine approximation of its behavior at an arbitrary time. Second, we consider a PID controller. In order to get a reliable estimate of its control function, we apply the exponentiation of a bundle of linear operators. For the non linear equations case, we have chosen a dynamic non linear system, more precisely, an open loop control command system, and we computed the fixed point of its linear approximation. Note that, this technique can be applied in a more general setting, for any multivalued linear and non linear map and that the general algorithm is also introduced in this manuscript.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous avons présenté notre contribution au calcul des points fixes pour des équations linéaires et non linéaires. nous avons introduit une nouvelle méthode pour calculer les points fixes d'une classe de fonctions itérées dans un temps fini, en calculant l'exponentiel des opérateurs linéaires multivalués. Afin d'illustrer notre approche et montrer que cette méthode peut donner des résultats rapides et précis pour les équations linéaires et non linéaires, nous avons choisi deux applications bien connues qui sont difficiles à manipuler par les techniques habituelles, pour le cas des équations linéaires. Premièrement, nous appliquons l'exponentiation des opérateurs linéaires à un filtre numérique afin d'obtenir une approximation fine de son comportement à un moment arbitraire. Deuxièmement, on considére un contrôleur PID. Afin d'obtenir une estimation fiable de sa fonction de contrôle, on applique l'exponentiation d'un faisceau d'opérateurs linéaires. Pour le cas des équations non linéaires, nous avons choisi un système dynamique non linéaire, plus précisément un contrôleur en boucle ouverte, et nous avons calculé le point fixe de son approximation linéaire. Notons que cette technique peut être appliquée dans un cadre plus général, pour toute fonction multivoque linéaire et non linéaire et que l'algorithme général est également introduit dans ce manuscrit.