Décompositions et algorithmes proximaux pour l'analyse et le traitement itératif des signaux
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study and the resolution of certains nonlinear problems in signal and image processing via convex analysis. We propose a unified variational investigation of inverse problems and signal decomposition problems which have so far been studied individually, because of their apparent disparity. In the model we adopt, this family of problems is reduced generically to the minimization of the sum of two convex functions with certain regularity properties. Existence, uniqueness and characterization results are obtained for this problem. The proximity operator, introduced by Moreau in 1962 to study certains problems in mechanics, plays a basic role in our analysis. We apply it in particular to obtain new nonlinear signal decomposition schemes. Moreover, this tool is at the heart of the forwardbackward algorithm which we propose to solve the generic problem. This theoretical framework is applied to signal analysis and to image restoration. The restoration problems under consideration are posed on frames and our approach makes it possible to take into account sparsity constraints or to model Bayesian formulations with a priori knowledge on the distribution of the coefficients of the decomposition. Numerical results are provided.
Abstract FR:
Décompositions et Algorithmes Proximaux pour l’Analyse et le Traitement Itératif des Signaux Cette thèse est consacrée à l’étude et la résolution de certains problèmes non linéaires du traitement du signal et de l’image via l’analyse convexe. Nous proposons une étude variationnelle unifiée de problèmes inverses et de problèmes de décomposition de signaux qui ont, jusqu’à présent, été étudiés individuellement en raison de leur apparente disparité. Dans le modèle adopté, cette famille de problèmes est réduite génériquement à la minimisation d’une somme de deux fonctions soumises à certaines propriétés de régularité. Des résultats d’existence, d’unicité et de caractérisation du problème ainsi posé sont obtenus. L’opérateur proximal, introduit par Moreau en 1962 pour les besoins de la mécanique, joue un rôle essentiel dans notre analyse. Nous l’utilisons notamment pour obtenir de nouveaux schémas non linéaires de décomposition de signaux. Cet outil est par ailleurs au coeur de l’algorithme explicite-implicite que nous proposons pour la résolution du problème générique. Ce cadre théorique est appliqué à l’analyse de signaux et à la restauration d’images. Les problèmes de restauration que nous abordons sont posés sur des trames et notre approche permet de prendre en compte des contraintes de parcimonie ou de modéliser des formulations bayésiennes avec des connaissances a priori sur les lois des coefficients de la décomposition. Des résultats numériques sont fournis.