Abstract FR:

Cette thèse a pour objet central l'étude des systèmes hamiltoniens à deux degrés de liberté. Le travail se situe dans le cadre de la géométrie symplectique, de la géométrie algébrique et des fonctions hypergéométriques. Nous décrivons plusieurs méthodes et de nombreux exemples, permettant de trouver une variété invariante engendrée par une fonction et ses dérivées temporelles. Les modes normaux du système et leurs périodes sont ainsi déterminés ainsi que des nouvelles relations entre fonctions hypergéométriques, en utilisant la notion de sous-systèm̀e hamiltonien. Nous introduisons la notion de (R,S)-structure bi-hamiltonienne qui généralise la notion de structure bi-hamiltonienne classique (où les exemples non triviaux sont très rares). Lorsque les fonctions R et S ne sont pas des invariants, les valeurs propres du qotient des deux crochets de Poisson ne sont plus des intégrales premières du mouvement. Cependant, elles donnent des informations sur les variables qui séparent le système, et enfin sur les paires de Lax que l'on peut construire d'une façon systématique pour une certaine classe de systèmes hamiltoniens. En particulier la fonction S est très utile pour construire une paire de Lax correspondant au flot défini par le second invariant (qui rend le système intégrable). Les divers exemples de systèmes intégrables étudiés (hamiltonien de Hénon-Heiles, de Calogero, de Gelfand-Dikii, de Toda, de Garnier, de Kolossof, de la machine d'Atwood oscillante, etc. . . . ) nous ont permis de constater l'existence des crochets de Lie-Poisson linéaires, quadratiques, cubiques ou encore des crochets de Lie-Poisson plus compliqués.