Etude mathématique des équations de Saint-Venant et de Navier-Stokes
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is divided into two parts. In the _rst one, we are interested in the Equatorial Shallow Water equations which modelize the behaviour of shallow homogeneous _uids in the equatorial zone in case of large rotation of the Earth. Thanks to these hypotheses, using the Navier-Stokes equations, we get a penalized system. The penalization parameter is called " and takes into account the smallness hypotheses. Studying the penalization term, we exhibit a formal limit system when the parameter " tends to zero. Finally, we prove the convergence of the _ltered solutions toward the solution of the limit system. In the second part, we exhibit a class of initial data which generate a global solution of the Navier-Stokes equations in R3. These equations are well-posed in R2 but in R3 we need, for example, to add a su_cient smallness condition on the initial data. When the inital data spectrum is near the horizontal plane then we will prove that it generates a global solution to the Navier-Stokes equations. Moreover, we establish that, under some hypotheses, the perturbation of an initial data generating a global solution, by these data with quasi- horizontal spectrum, also generates a global solution.
Abstract FR:
Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première, nous étudions les équations de Saint- Venant qui modélisent le comportement des océans, et de façon générale des _uides homogènes peu profonds, au voisinage de l'équateur dans le cadre d'une rotation rapide de la Terre. Grâce à ces hypothèses et aux équations de Navier-Stokes, nous commencerons par obtenir un modèle également connu sous le nom d'_Equatorial Shallow Water System_. Les équations obtenues font apparaître un paramètre de pénalisation " contenant les hypothèses de petitesse faites pour obtenir ce système simpli_é. L'étude de la matrice de pénalisation permettra par une méthode de _ltrage d'exhiber un système limite formel lorsque le paramètre " tend vers zéro pour lequel nous donnerons une condition nécessaire et su_sante de globalité. Nous montrerons ensuite la convergence des solutions _ltrées vers la solution du système limite. Dans la deuxième partie, nous exhiberons une classe de données initiales engendrant une solution globale aux équations de Navier-Stokes dans R3. En e_et, les solutions de ces équations sont globales dans le cadre bidimensionnel mais dans le cas tridimensionnel, il faut rajouter, par exemple, des conditions su_santes de petitesse des données initiales pour que la solution n'explose pas en temps _ni. Nous prouverons que si on considère une donnée initiale ayant un spectre proche du plan horizontal alors elle engendre une solution globale des équations de Navier-Stokes. De plus, nous montrerons que, sous certaines hypothèses, la perturbation d'une donnée initiale engendrant une solution globale, par ce type de données au spectre quasi-horizontal, engendre encore une solution globale.