Quantification d'incertitudes et objets en dimension infinie
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Abstract EN:
The Polynomial Chaos theory, being a less expensive and more efficient alternative of the Monte Carlo Simulation, remains limited to the polynomials of Gaussian variables. We present a Hilbertian method that generalizes this theory and we establish the conditions of existence and convergence of an expansion in Generalized Fourier Series. Then, we present the Statistics of Things that allows studying the statistical characteristics of a set of random infinite-dimensional objects. By computing the distances between the hypervolumes, namely the distance of Hausdorff, this method allows determining the median object, the quantile objects and a confidence interval at a given level for a finite set of random objects. In the third section, we address a method for simulating a large size sample of a random object at a much reduced computational cost, and calculating its mean without using the distance between the hypervolumes.
Abstract FR:
La théorie des polynômes de chaos, étant une alternative moins onéreuse et plus efficace de la simulation de Monte Carlo, reste limitée aux polynômes de variables gaussiennes. On présente une méthode de type hilbertien qui généralise cette théorie et on établit les conditions d’existence et de convergence d’une expansion en Série de Fourier Généralisée. Ensuite, on présente la Statistique des Objets qui permet d’étudier les caractéristiques statistiques d’un ensemble d’objets aléatoires en dimension infinie. En calculant les distances entre les hypervolumes, notamment la distance de Hausdorff, cette méthode permet de déterminer l’objet médian, les objets quantiles et un intervalle de confiance à un seuil donné pour un ensemble fini d’objets aléatoires. Une méthode pour simuler un échantillon de grande taille d’un objet aléatoire à coût computationnel très réduit, et calculer sa moyenne sans faire appel à la distance entre les hypervolumes, fait l’objet de la troisième partie.