Abstract FR:

Cette thèse traite de la résolution numérique des Équations Algébro-Différentielles (EAD). On s'intéresse d'une part à des méthodes purement numériques, et d'autre part à des méthodes alliant calcul symbolique et calcul numérique. Une première partie introductive rappelle les notions fondamentales de l'étude des équations algébro-différentielles et les difficultés de leur résolution numérique, et propose un panorama rapide des applications où de telles équations interviennent. La deuxième partie s'intéresse à l'estimation de d'erreur globale commise au cours de l'intégration par des méthodes de Runge-Kutta. La convergence de deux estimateurs asymptotiques (le calcul d'une correction globale et la technique de Zadunaisky) est étudiée, d'abord pour les équations linéaires à coefficients constants d'indice quelconque, puis pour les équations non-linéaires semi-explicites d'indice 1 et 2. La troisième et dernière partie est dédiée à la résolution numérique des problèmes d'indice élevé, pour lesquels un pré-traitement formel est nécessaire pour réduire l'indice. On compare dans un radie unifié deux approches de la littérature: l'approche de Campbell et al. Et (approche de Iiunkel et Mehrmann. On propose ensuite une alternative efficace qui consiste à calculer formellement l'indice et les contraintes du problème, et à les utiliser pour intégrer numériquement l'EAD comme un problème d'indice un. Une implémentation en Maple et des tests numériques complètent cette étude