Quelques résultats d'existence, de contrôlabilité et de stabilisation pour des systèmes couplés fluide-structure
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we are interested in the study of fluid-structure systems. These systems may model blood flows in large vessels or aeroelasticy problems. The velocity and the pressure of the blood are described by the incompressible Navier-Stokes equations and the displacement of the structure boundary satisfies a beam/plate/membrane equation (it depends on the dimension of the model and of the nature of the structure). In the fist part, we prove the exitence and uniqueness of strong solutions to the kind of systems in two or three dimensions, either for small initial data (global in time existence) or for any initial data (local in time existence). In the second part, we study on one hand the null controllability of a system coupling the Navier-Stokes equations with a structure equation corresponding with a finite dimensional approximation of the beam or plate equation. On the other hand, we study the stabilization (for any decay rate) local around the stationary null solution of a system coupling the Navier-Stokes equations with two beam equations with two finite dimension controls acting on the structure equation and in the second boundary condition for the velocity. The second control only depends on time.
Abstract FR:
Dans cette thèse nous étudions des systèmes couplés fluide-structure. Ces systèmes peuvent modéliser un écoulement sanguin dans un vaisseau large ou un problème d'aéroélasticité. La vitesse et la pression du fluide sont décrites par les équations de Navier-Stokes incompressibles et le déplacement de la structure frontière est régi par une équation de poutre/plaque/membrane (selon la dimension du modèle et la nature de la structure). Dans la première partie, nous montrons l'existence de solutions fortes pour de tels systèmes en deux ou trois dimensions, soit pour des conditions initiales petites (existence globale en temps), soit pour des conditions initiales quelconques (existence locale en temps). Dans une seconde partie, nous étudions d'abord la contrôlabilité à zéro d'un système couplant les équations de Navier-Stokes à une équation de structure correspondant à une approximation de dimension finie des modèles de poutres ou de plaques. Nous étudions ensuite la stabilisation (pour tout taux de décroissance), locale au voisinage de la solution nulle, d'un système couplant les équations de Navier-Stokes à deux équations de poutres, par deux contrôles de dimension finie agissant dans l'équation de la structure et dans la deuxième condition au bord pour la vitesse. Le second contrôle ne dépend que du temps.