EDS dirigées par des processus stables : Méthode paramétrix pour des estimées de densités et application aux algorithmes stochastiques
Institution:
Sorbonne Paris CitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Density Estimates for SDEs Driven by Tempered Stable Processes. We study a class of stochastic differential equations driven by a possibly tempered Lévy process, under mild conditions on the coefficients (Wilder continuity). We prove the well-posedness of the associated martingale problem as well as the existence of the density of the solution. Two sided heat kernel estimates are given as well. Our approach is based on the Parametrix series expansion. A Parametrix Approach for some Degenerate Stable Driven SDEs. We consider a stable driven degenerate stochastic differential equation, whose coeffi- cients satisfy a kind of weak Hôrmander condition. Under mild smoothness assumptions we prove the uniqueness of the martingale problem for the associated generator under some dimension constraints. Also, when the driving noise is scalar and tempered, we establish density bounds reflecting the multi-scale behavior of the process. A Multi-step Richardson-Romberg extrapolation method for stochastic approximation We obtain an expansion of the implicit weak discretization error for the target of stochastic approximation algorithms introduced and studied in [30]. This allows us to extend and develop the Richardson-Romberg extrapolation method for Monte Carlo linear estimator (introduced in [79] and deeply studied in [65]) to the framework of stochastic optimization by means of stochastic approximation algorithms. We notably apply the method to the estimation of the quantile of diffusion processes. Numerical results confirm the theoretical analysis and show a significant reduction in the initial computational cost.
Abstract FR:
Premièrement, nous étudions une classe d'équations différentielles stochastiques dirigées par des processus stables (possiblement tempérés), sous des hypothèses de régularité Wilder sur les coefficients. Nous prouvons que le problème de martingale associé est bien posé, établissant ainsi l'unicité faible pour l'EDS. Nous donnons aussi un encadrement de la densité de la solution par celle d'un processus stable (possiblement tempéré). Notre approche est basée sur la méthode parametrix. Dans un second temps, nous considérons une équation différentielle stochastique dégénérée dirigée par un processus stable dont les coefficients satisfont une sorte d'hypothèse de Hôrmander faible. Sous de relativement faibles hypothèses de régularité et des restrictions dimensionnelles, nous prouvons que le problème de martingale est bien posé. Nous donnons également un majorant de la densité reflétant le caractère multi-échelle du processus sous-jacent dans le cas scalaire du stable tempéré. Enfin, nous obtenons un développement pour l'erreur de discrétisation de la cible d'un algorithme stochastique à la suite de [30]. Ceci nous permet de mettre en place une extrapolation de Richardson-Romberg dans le cadre des algorithmes stochastiques, déjà obtenue pour les estimateurs de Monte Carlo linéaires (introduite par Talay et Tubaro [79] et pleinement étudiée dans Pagès [65]) Nous appliquons nos résultats à l'estimation du quantile de la solution d'une EDS dirigée par un processus stable. Les résultats numériques produits à partir de notre méthode montrent une réduction significative de la complexité.