Techniques d'approximation rationnelle en synthèse fréquentielle : problème de Zolotarev et algorithme de Schur
Institution:
Aix-Marseille 1Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis presents some rational approximation and optimization techniques with applications to the synthesis and identification of passive systems. In the first part, we study a Zolotarev-type problem: to maximize on some set of intervals the infimum of the modulus of a rational function of given degree, under the constraint that the modulus of this function is bounded by 1 on another set of intervals. We are first concerned with the existence and the characterization of the solutions to such a problem. Next, a Remes-type algorithm and a differential-correction-type algorithm are studied. The link with the synthesis of microwave filters is carried out in detail. In fact, the theory we present allows one to compute multiband filtering functions with respect to given specifications. From the practical viewpoint, some microwave filters have been designed using this theory, and their theoretical response is compared to the real one. In the second part, the Schur rational approximation of a Schur function is studied. A Schur function is an analytic function whose modulus is bounded by 1 in the unit disk. First, the multipoint Schur algorithm is presented. It gives a parametrization of all strictly Schur functions. Next, the link with orthogonal rational functions is developed via a Geronimus-type theorem. The latter allows us to prove some approximation properties, where the interpolation points may tend to the unit circle. In particular, a convergence in the Poincare metric is obtained thanks to an extension of a Szego-type theorem. A numerical study for the computation of the Schur approximants of given degree is also presented.
Abstract FR:
Cette these presente des techniques d'optimisation et d'approximation rationnelle ayant des applications en synthese et identication de systemes passifs. La premiere partie decrit un probleme de Zolotarev : on cherche a maximiser sur une famille d'intervalles l'infimum du module d'une fonction rationnelle de degre donne, tout en contraignant son module a ne pas depasser 1 sur une autre famille d'intervalles. On s'interesse dans un premier temps a l'existence et a la caracterisation des solutions d'un tel probleme. Deux algorithmes, de type Remes et correction differentielle, sont ensuite presentes et etudies. Le lien avec la synthese de filtres hyperfrequences est detaille. La theorie presentee permet en fait le calcul de fonctions de filtrage, multibandes ou monobandes, respectant un gabarit fixe. Celle-ci a ete appliquee a la conception de plusieurs filtres hyperfrequences multibandes dont les reponses theoriques et les mesures sont donnees. La deuxieme partie concerne l'approximation rationnelle Schur d'une fonction Schur. Une fonction Schur est une fonction analytique dans le disque unite bornee par 1 en module. On etudie tout d'abord l'algorithme de Schur multipoints, qui fournit un parametrage des fonctions strictement Schur. Le lien avec les fonctions rationnelles orthogonales, obtenu grâce a un theoreme de type Geronimus, est ensuite presente. Celui-ci permet alors d'etablir certaines proprietes d'approximation dans le cas peu etudie ou les points d'interpolation tendent vers le bord du disque. En particulier, une convergence en metrique de Poincare est obtenue grâce a une extension d'un theoreme de type Szego. Une etude numerique sur l'approximation rationnelle Schur a degre fixe est aussi realisee.