Etude mathématique et numérique de l'équation de Vlasov non linéaire sur des maillages non structurés de l'espace des phases
Institution:
Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008)Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This work is dedicated to the mathematical and numerical studies of the Vlasov equation on phase-space unstructured meshes. In the first part, new semi-Lagrangian methods are developed to solve the Vlasov equation on unstructured meshes of phase space. As the Vlasov equation describes multi-scale phenomena, we also propose original methods based on a wavelet multi-resolution analysis. The resulting algorithm leads to an adaptive mesh-refinement strategy. The new massively-parallel computers allow to use these methods with several phase-space dimensions. Particularly, these numerical schemes are applied to plasma physics and charged particle beams in the case of two-, three-, and four-dimensional Vlasov-Poisson systems. In the second part we prove the convergence and give error estimates for several numerical schemes applied to the Vlasov-Poisson system when strong and classical solutions are considered. First we show the convergence of a semi-Lagrangian scheme on an unstructured mesh of phase space, when the regularity hypotheses for the initial data are minimal. Then we demonstrate the convergence of classes of high-order semi-Lagrangian schemes in the framework of the regular classical solution. In order to reconstruct the distribution function, we consider symmetrical Lagrange polynomials, B-splines and wavelets bases. Finally we prove the convergence of a semi-Lagrangian scheme with propagation of gradients yielding a high-order and stable reconstruction of the solution.
Abstract FR:
Ce travail est consacré à l'étude mathématique et numérique de l'équation de Vlasov sur des maillages non structurés de l'espace des phases. Dans une première partie on présente de nouvelles méthodes numériques de type semi-Lagrangien pour résoudre l'équation de Vlasov sur des maillages non structurés de l'espace des phases. L'équation de Vlasov mettant en jeu des phénomènes physiques multi-échelles on présente aussi des méthodes numériques adaptatives basées sur une analyse multi-résolution par ondelettes, conduisant à un raffinement adaptatif de maillages. L'apparition des supercalculateurs massivement parallèle permet de considérer ces méthodes en plusieurs dimensions dans l'espace des phases. Dans le but d'appliquer ces nouvelles méthodes aux domaines de la physique des plasmas et de la propagation des faisceaux de particules chargées on considère le système de Vlasov-Poisson à deux, trois et quatre dimensions dans l'espace des phases. Dans la deuxième partie on présente des preuves rigoureuses de la convergence de plusieurs schémas numériques pour le système de Vlasov-Poisson et des estimations a priori sur la vitesse de convergence des suites de solutions construites vers la solution du problème continu dans le cadre des solutions fortes et classiques. D'abord on démontre la convergence d'un schéma semi-Lagrangien sur un maillage non structuré de l'espace des phases avec des hypothèses de régularité minimales sur les données initiales. Lorsque les solutions classiques sont assez régulières, on prouve la convergence de plusieurs classes de schémas semi-Lagrangien d'ordre élevé selon que l'on envisage des reconstructions à partir de bases de polynômes de Lagrange symétriques, de B-splines et d'ondelettes. Enfin on montre la convergence d'un schéma semi-Lagrangien dans lequel on propage les gradients de la fonction de distribution afin d'obtenir une reconstruction d'ordre élevé et stable de la solution.