Abstract FR:

On s’int´eresse `a l’´ecoulement d’un m´elange d’eau et d’huile dans une matrice poreuse suppos´ee h´et´erog`ene, et plus particuli`erement apposition de diff´erentes sous-matrices poreuses suppos´ees homog`enes. Si la mod´elisation et l’analyse des ´ecoulements diphasiques dans des milieux poreux homog`enes a fait l’objet de nombreuses ´etudes pr´ealables, ce travail s’int´eresse aux ph´enom`enes li´es aux forces provenant de la pression capillaire au niveau des interfaces entre des milieux diff´erents. Dans un premier temps, on suppose que l’on peut connecter les pressions au niveau des interfaces. Cela n´ecessite des hypoth`eses sur les profils de pression capillaire, afin que les raccords soient possibles. On d´emontre l’existence d’une solution faible du probl`eme parabolique d´eg´en´er´e obtenu par convergence d’une famille de solutions approch´ees obtenues `a l’aide d’un sch´ema Volumes Finis. L’unicit´e est garantie, sous hypoth`ese sur les d´eg´en´erescence, par une m´ethode de d´edoublement de variable aboutissant `a un principe de contraction L1. La mod´elisation ne garantit pas forc´ement que le raccord des pressions capillaires aux interfaces soit possible. Dans le chapitre 3, on donne une condition de raccord graphique des pressions capillaires aux interfaces qui permet de traiter des cas beaucoup plus g´en´eraux. On montre que de le probl`eme avec raccords graphiques admet une solution. Un r´esultat d’unicit´e et de contraction L1 est donn´e dans le cas unidimensionnel. Dans le chapitre 4, on montre la convergence d’une approximation Volumes Finis vers l’unique solution du probl`eme unidimensionnel. Ce r´esultat utilise une borne uniforme sur les flux discrets, analogie discr`ete de la preuve dans le cas continue faite au chapitre pr´ec´edent. On ´etudie dans les chapitres 5 et 6 la limite des solutions lorsque la d´ependance de la pression capillaire par rapport `a l’inconnue saturation devient tr`es faible, et que la pression capillaire ne d´epend plus que du sous milieux poreux homog`ene. Il apparaˆıt alors des ph´enom`enes diff´erents selon l’orientation des forces de gravit´e et de capillarit´e. Soit la solution du probl`eme est la solution entropique d’une ´equation hyperbolique `a flux discontinus, soit une solution faible, entropique `a l’int´erieur des sous-domaines homog`enes, et laissant apparaˆıtre un choc non classique `a l’interface.