Abstract FR:

Estismation de la moyenne M(T) d'un processus stochastique réel du second ordre, à partir d'un échantillon observé à un nombre fini d'instants d'un intervalle borné de la droite réelle. Le processus est à trajectoires dans l'espace des fonctions réelles de carré intégrable et la moyenne M est supposée appartenir à un espace de Sobolev. Dans ces conditions, il semble naturel d'estimer par des fonctions spline. Trois estimateurs sont proposés et etudiés : fonction spline d'interpolation ou d'ajustement de la moyenne empirique obtenue à partir de l'échantillon et fonction spline dans un ensemble convexe construit à partir d'intervalles de confiance de M en chaque point de discrétisation. Dans le 1er chapitre, après quelques généralités, on s'intéresse aux conditions d'existence et d'unicité de ces estimateurs; cette étude est spécifique dans le cas des fonctions spline d'ajustement car la métrique considérée tient compte de la variance empirique du processus en chaque instant de discrétisation et n'est donc pas la métrique classique. Puis on démontre que, sous des hypothèses convenables, chacun des trois estimateurs proposes converge presque sûrement vers la moyenne M du processus dans l'espace de Sobolev considéré. Les trois méthodes d'estimation proposées ont été programmées et testées sur des échantillons issus de simulations de processus de naissance et de mort. Les résultats de cette étude numérique sont exposés et comparés dans le second chapitre. Le 3ème chapitre est l'application de ces méthodes d'estimation spline à l'analyse en composantes principales d'une fonction aléatoire du second ordre et de moyenne inconnue M. On démontre alors la convergence uniforme presque sure des analyses obtenues par estimation de M vers l'analyse en composantes principales exacte de la fonction aléatoire considérée.