Abstract FR:

Le but de cette these est de presenter des modeles d'evolution de domaines dont le comportement de type differentiel depend de la forme globale de la zone etudiee, comme, par exemple, les incendies, les epidemies. Le cadre de travail est donc les parties de r n. Nous nous sommes alors interesses au calcul differentiel dans les espaces metriques via le calcul mutationnel. Apres avoir introduit le concept d'equation mutationnelle a retard, nous avons obtenu des resultats d'existence, d'unicite et de stabilite de solutions de telles equations. L'introduction d'une nouvelle notion d'ensemble tangent a ete necessaire pour donner des conditions assurant l'existence de solutions viables. Enfin, une etude sur la regularite metrique a ete menee. A titre d'exemple, la theorie du calcul mutationnel a ete illustree dans le cas des parties de r n. Nous nous sommes ensuite interesses aux operations sur les parties de r n. Nous avons introduit une nouvelle difference ensembliste, munie d'un parametre, qui permet de retrouver la difference au sens classique, ainsi que la difference de minkowski. Des proprietes de cette difference ont ete etablies et, en particulier, un resultat de continuite par rapport aux operandes et au parametre. Le cas de la difference de minkowski a ete traite separement dans le cadre general des parties convexes d'un espace vectoriel norme de dimension quelconque. Le resultat majeur de cette etude est que l'application qui, a deux ensembles, associe leur difference de minkowski est localement lipschitzienne, dans les cas borne et non borne. Les outils mathematiques necessaires a notre etude mis en place, il nous a ete possible de presenter des modeles d'evolution de domaines, en utilisant comme champs d'evolution les operations decrites auparavant et en en donnant une interpretation biologique. Se basant sur une etude numerique de la difference de minkowski, nous avons pu representer numeriquement un modele dont le champ d'evolution utilise cette difference.