Méthodes d'ondelettes pour l'analyse numérique d'intégrales oscillantes
Institution:
Evry-Val d'EssonneDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
We have worked with three families of functions known for their localisation in space and in frequency: the wavelet basis, the wavelet paquet basis, and the Malvar local cosine basis. We have constructed and implemented two algorithms : - On [0,1] for the equation [Delta](u)+e[exp]c*u=f with f having a tough singularity. We have proved and verified sharp complexity estimates for the algorithm, in the wavelet basis, and have reached high precisions. The same proof of sharpness is applied to the 2D version. - For the oscillating boundary integral equation known as Combined Field Integral Equation, related to the Helmholtz diffraction problem around a 2D smooth obstacle. All above three families have been tested. We have proved an original result, fully justifying the use of N degrees of freedom per wavelength, which was needed to deal with a threshold study of the matrix of the numerical system in the high frequency case; we have explained and proved the graphical repartitions in the matrix.
Abstract FR:
Nous utilisons trois discrétisations connues pour leur localisation fréquentielle et spatiale : les bases d'ondelettes, les paquets d'ondelettes et les bases de cosinus locaux. Nous avons construit et programmé deux algorithmes: - Sur [0,1], pour l'équation [Delta](u)+e[exp]c*u=f avec f présentant une singularité. L'algorithme est de complexité optimale et utilise les bases d'ondelettes. La précision a été poussée assez loin, et la version 2D, non testée, est aussi optimale. - Pour l'équation intégrale oscillante correspondant à la Combined Integral Field Equation qui est en rapport avec le problème de diffraction des ondes (Helmholtz) par un obstacle régulier 2D. Les trois discrétisation ci-dessus sont testées. Des résultats originaux, montrant que N degrés de liberté par longueur d'onde suffisent à hautes fréquences, ont été démontrés afin de pouvoir fonder une étude de seuillage des matrices du système numérique; nous analysons les matrices résultant de ce seuillage, preuves à l'appui.