Problèmes elliptiques en domaines non bornés : une approche dans les espaces de Sobolev avec poids
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The aim of this PhD thesis is the resolution of elliptic problems in several unbounded domains. First, we study the Laplace operator in an exterior domain with nonhomogeneous and mixed boundary conditions and next in an exterior domain in the half-space with Dirichlet, Neumann and mixed boundary conditions. Then, we consider the Stokes problem in three different unbounded geometries: an exterior domain in the half-space, a perturbed half-space and an aperture domain. We give, for these problems, existence and uniqueness fundamental results in Lp's theory (with p strictly greater than 1 and strictly less than the infinity) in the functional framework of weighted Sobolev spaces. Moreover, we are also interested in strong solutions (particularly with regularity results) and in very weak solutions.
Abstract FR:
L'objet de cette thèse est la résolution de problèmes elliptiques dans différents domaines non bornés. Dans un premier temps, nous étudions l'opérateur de Laplace dans un domaine extérieur avec des conditions aux limites non homogènes mêlées, puis dans un domaine extérieur dans le demi-espace avec des conditions de type Dirichlet, Neumann et mêlées. Nous considérons ensuite le problème de Stokes dans trois géométries non bornées: un domaine extérieur dans le demi-espace, un demi-espace perturbé et un domaine avec ouverture. Nous donnons pour chacun de ces problèmes des résultats fondamentaux d'existence et d'unicité en théorie Lp (avec p strictement compris entre 1 et l'infini) dans le cadre fonctionnel des espaces de Sobolev avec poids. De plus, nous nous intéressons également aux cas des solutions fortes (avec en particulier des résultats de régularité) et aux cas des solutions très faibles.