Abstract FR:

Ce travail est consacré à l'étude de l'unicité des solutions de systèmes de lois de conservation de masse (équations de continuité) issus de la modélisation des écoulements diphasiques de fluides en milieu poreux. Autant le problème de l'existence semble complètement résolu (chap1), autant celui de l'unicité globale en dimension quelconque posait encore des difficultés principalement a cause du manque de résultats de régularité sur les solutions et du couplage du système. Nous obtenons un premier résultat d'unicité pour un problème pose dans un domaine géométrique particulier (l'espace compris entre deux cylindres de même hauteur et de même axe principal), ce cas pouvant se ramener, dans certaines conditions d'exploitation, au cas des écoulements monodirectionnels pour lesquels le système se découple naturellement par une quadrature. L’unicité s'obtient alors par une technique à la Kruskov, usuelle pour les problèmes hyperboliques du premier ordre et utilisant des approximations lipchitziennes de la fonction de Heaviside (chap2). Une étude générale est ensuite menée sur la régularité des solutions d'équations de type elliptique. Outre une généralisation du théorème de Meyers nous obtenons des résultats permettant particulièrement de pouvoir maitriser et contrôler la régularité du gradient de pression (chap3). Les résultats ainsi obtenus permettent alors de s'affranchir de l'hypothèse que le gradient de pression est borne (hypothèse généralement admise dans la littérature mais pas toujours acquise). On obtient alors des résultats d'unicité pour des systèmes simplifies en utilisant une argumentation usuelle pour des équations de Navier-stokes (chap4) puis d'autres propriétés d'unicité sont obtenus dans le cadre de méthodes de transposition inspirées par S. N. Antontsev (chap5)