Processus de Markov multi-auto-similaires à valeurs dans IRd
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Abstract EN:
This thesis aims at studying all R^d-valued multi-self-similar Markov processes (mssMp’s), introduced by Jacobsen and Yor in 2003 in the aim of extending the famous Lamperti transformation to R_+^d -valued processes. A full description of these processes is given and many properties of these processes are proved in this work. In particular, we give in the second chapter the form of their state space,and we show that there is no finite entrance law at 0. We give conditions for these processes to satisfy the Feller property. A Lamperti-type representation is also valid for mssMp’s and there is a one-to-one relationship between the set of R^d-valued mssMp’s and the set of Markov additive processes with values in {-1,1}^d×R^d. This allowed us to establish, in the third chapter some properties of inversion, duality and conditioning of mssMp’s. In particular, we build under some assumptions an excessive function h for a give nmssMp. Then we show that the Doob h-transformis interpreted as the original process conditioned to avoid 0 or to hit 0 continuously. We show also under some reversibility conditions, that mssMp’s have the space inversion property.
Abstract FR:
Le but de ma thèse est d’étudier les processus de Markov multi-auto-similaires (mssMp’s) à valeurs dans R^d, introduits par Jacobsen et Yor en 2006 dans le but d'étendre la fameuse représentation de Lamperti aux processus à valeurs dans R_+^d. Une description complète de ces processus est donnée, et plusieurs propriétés élémentaires de ces processus sont prouvées dans ce travail. En particulier on donne dans le deuxième chapitre la forme de leur espace d’états, et on montre qu’il n’y a pas une loi d’entrée en 0. On donne également des conditions sous lesquelles ces processus satisfont la propriété de Feller. Une représentation de type Lamperti est encore vraie pour les mssMp’s et on prouve qu’il y a une bijection entre l’ensemble des mssMp’s à valeurs dans R^d, et l’ensemble des processus de Markov additifs à valeurs dans {-1,1}^d×R^d. Ceci nous a permis d’établir dans le troisième chapitre certaines propriétés d’inversion, de dualité et de conditionnement des mssMp’s. En particulier on construit sous certaines hypothèses une fonction excessive h pour un étant donné mssMp. On montre que le h-transformée de Doob est interprété comme le processus initial conditionné à éviter 0 ou à être absorbé continûment en 0. On montre aussi sous certaines conditions de réversibilité que les mssMp’s ont la propriété d’inversion d’espace.