Characterization of product BMO and iterated commutators involving Calderon-Zygmund operators
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The aim of my thesis was to find criteria on families of Calderon-Zygmund operators to know if, with iterated commutators, they characterize product BMO space. Multiparameter BMO space is a generalization of classical BMO space, and began to be studied during the eighties by Chang and Fefferman. To each parameter is associated a Calderon-Zygmund operator acting on this parameter. We define also, associated to b in BMO, the operator Mb of multiplication by b. Then we define iterated commutators with those Calderon-Zygmund operators and the operator Mb. Then the aim is to study the relation between the BMO norm of b and the norm of the commutator acting on L2. The first result in one parameter case is due to Coifman, Rochberg and Weiss, who proved that Riesz transforms characterize BMO. The next result is due to Uchiyama, who gave a criterion on families of Calderon-Zygmund operators to show if they generalize Stein-Fefferman decomposition. Then Li gave another criterion on those families of Calderon-Zygmund operators, to show if commutators characterize BMO. The first result in multiparameter case is due to Ferguson-Lacey, who proved in the case of parameter t=2 that Hilbert transform characterize BMO. Then Lacey and Terwilleger extended this result to arbitraly number of iterations. Finally, Lacey-Petermichl-Wick-Pipher extended this result to Riesz transform in product BMO space. So, first, I found a criterion on families of Calderon-Zygmund operators to know if they characterize product BMO space. Finally, I proved that commutators norms are majorized, up to a multiplicative constant, by BMO norm of b in multiparameter case for any kind of Calderon-Zygmund commutators, using the representation theorem of Hytonen, which reduces the problem to dyadic shifts
Abstract FR:
Le but de ma thèse est de décrire les familles d'opérateurs de Calderon-Zygmund qui, imbriqués au sein de commutateurs, caractérisent BMO à plusieurs paramètres. L'espace BMO à plusieurs paramètres est une généralisation de l'espace BMO classique, et a commencé à être étudié au cours des années 1980 par Chang et Fefferman. A chaque paramètre, on associe un opérateur de Calderon-Zygmund agissant sur ce paramètre, un opérateur de Calderon-Zygmund étant un opérateur à noyau. Ensuite, si b appartient à BMO, on lui associe l'opérateur Mb de multiplication par b. On considère ensuite une suite d'itérés de commutateurs ayant pour argument ces opérateurs de Calderon-Zygmund et Mb. Le but est alors d'étudier le rapport entre la norme BMO de b et celle de ces itérés de commutateurs agissant sur L2. Le premier résultat concernant cette théorie est du à Coifman, Rochberg et Weiss qui ont démontré dans le cas du paramètre un que les transformées de Riesz, qui sont des opérateurs de Calderon-Zygmund, caractérisent BMO. Le résultat suivant est du à Uchiyama, qui, lui, a proposé un critère portant sur une famille d'opérateurs de Calderon-Zygmund, pour savoir s'ils généralisent la décomposition de Stein-Fefferman, puis Li a fourni un critère englobant celui de Uchiyama pour savoir si un commutateur caractérise BMO à un paramètre. Le premier théorème dans le cas du multiparamètre est du à Ferguson-Lacey qui ont montré dans le cas du paramètre t=2 que les transformées de Hilbert caractérisent BMO, puis Lacey-Ferguson l'ont étendu à un nombre quelconque d'itérations. Enfin, Lacey-Petermichl-Wick-Pipher ont étendu ce résultat aux transformées de Riesz dans le cas du multiparamètre. C'est, dans un premier temps, ce résultat que l'on a généralisé, fournissant un critère permettant de savoir si une famille d'opérateurs de Calderon-Zygmund caractérisent BMO à plusieurs paramètres. Enfin, nous avons montré que la norme du commutateur est, à une constante multiplicative près, majorée par la norme BMO de b pour n'importe quel type d'opérateurs de Calderon-Zygmund, en utilisant le théorème de représentation d'Hytonen qui permet de réduire le problème au cas des shifts dyadiques