Approximate hedging with transaction costs and Leland's algorithm in stochastic volatility markets
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Abstract EN:
Cette thèse étudie le problème de couverture approximative avec des coûts de transaction proportionnels dans des marchés à volatilité stochastique. En utilisant une forme simple pour la volatilité ajustée dans la méthode de Leland, nous montrons que les propriétés asymptotiques de l'erreur de couverture sont les mêmes que celles dans le cas de volatilité déterministe et la vitesse de convergence peut être améliorée en contrôlant un paramètre du modèle. Nous montrons également que des sauts dans les prix de l'actif et/ou dans la volatilité du modèle ont aucun impact à la propriété asymptotique de l'erreur de couverture. Dans la deuxième partie, nous abordons le problème de couverture approximative en présence des risques de liquidité dans le sens de Cetin-Jarrow-Protter (des coûts de transaction proportionnelle modèles sont un cas particulier). En particulier, nous montrons que des coûts de liquidité peuvent être ignorées en utilisant le principe d'augmentation de volatilité mais ce n'est pas le cas lorsque la courbe d'offre admet un saut à zéro. Dans la troisième partie, nous étudions le cas où l'option est basée sur plusieurs actifs risqués et démontrons que la réplication complète peut être atteinte pour des options d'échange, mais c'est loin d'être évident pour les autres types d'options exotiques. Dans la dernière partie, nous proposons une méthode simple pour réduire le prix de l'option qui est proche au prix de super-couverture
Abstract FR:
This thesis studies the problem of approximate hedging with constant proportional transaction costs in stochastic volatility models in different situations, using a simpler form for adjusted volatility in the Leland's algorithm. We show that asymptotic properties of hedging error are the same to those in deterministic volatility models and the rate of convergence can be impoved by controlling the model parameter. These can be extended to the case where transaction costs are defined by a general rule. We also show that jumps appear in asset price and/or in stochastic volatility do not affect asymptotic property of hedging error. In the next part, we consider the problem of approximate hedging in the presence of liquidity risks suggested by Cetin, Jarrow and Protter, of which proportional transaction costs models are a particular case. We show that liquidity costs due to smooth supply surves can be ignored using Leland's increasing volatility principle. In the third part, we study the case where the option is written on multiple risky assets. We demonstrate that approximately complete replication can be reached for exchange options using the same parameter suggested by Leland, but it is far from being obvious for other kinds of exotic options. Finally, we propose a simple method to reduce the option price which clearly approaches to the super hedging price in Leland's algorithm. Whenever the seller accepts to take a risk defined by a given significance level.