Abstract FR:

Cette thèse est consacrée à l'étude du spectre des processus de Markov finis. On présente essentiellement deux résultats indépendants : les théorèmes A et B. Dans le théorème A, on s'intéresse aux valeurs propres tendant vers 0 d'un générateur de Markov irréductible, réversible et analytique en ε = 0, quand ε tend vers 0. Nous proposons une méthode générale de calcul explicite des équivalents des valeurs propres d'ordre O(εk) pour tout k≥1 qui vise à calculer les valeurs propres d'un nouveau générateur défini à partir du générateur initial. L'ordre de ce nouveau générateur est le nombre des valeurs propres d'ordre O(εk). Comme applications, on a considéré les processus quasi décomposables, le recuit simulé et les processus d'Ising. Dans le théorème B, on donne une expression explicite de la somme des inverses des valeurs propres non nulles d'un générateur de Markov irréductible et réversible dont le graphe réduit est un arbre. On en déduit une minoration générale du gap d'un processus irréductible et réversible quelconque