Abstract FR:

Ce travail consiste en l'élaboration d'une méthode de cheminement, dite également méthode de continuation, destinée aux problèmes de bifurcation qui apparaîssent lors de la discrétisation par éléments finis P1 d'une EDP semi-linéaire dépendant d'un paramètre. Afin de construire une méthode suffisamment robuste pour traiter les problèmes dont les solutions présentent des phénomènes de couches limites ou de singularités, nous avons intégré à la méthode de cheminement introduite par E. L. Allgower et K. Georg des techniques d'éléments finis adaptatifs, ainsi qu'une implémentation parallèle sur un réseau de stations, afin de diminuer les besoins en place mémoire et le temps de calculs nécessaires à l'évaluation d'une branche entière de solutions de bonne précision. Dans le cas de problèmes mono-dimensionnels, des essais sont effectués pour améliorer la qualité de la solution en déplaçant les nœuds du maillage, afin d'éviter le recours au raffinement. Enfin, sur un exemple où la singularité des solutions est dûe à la géométrie du domaine sur lequel est posé l'EDP, nous montrons comment l'utilisation d'un maillage «adapté à la singularité» permet de pallier le manque de régularité. On obtient en effet, pour la norme H1, une convergence optimale des branches de solutions approchées vers les branches de solutions exactes