Sensibilité topologique en optimisation de forme
Institution:
Toulouse, INSADisciplines:
Directors:
Abstract EN:
The topological sensitivity analysis consists in studying the variation of a cost function with respect to a modification of the topology of a domain. It is a basic tool for topological shape optimisation, in that it provides a "descent direction" for updating the shape of the domain. The topological sensitivity analysis provides an asymptotic expansion of a shape function with respect to the insertion of a small obstacle inside a domain. In this work, such an expansion is obtained for the Poisson problem and for the Stokes equations with general shape functions and arbitrary shaped holes. It is shown that this expansion depends on the shape of the obstacle In the three-dimensional case, whereas it is independent of the shape in the two dimensional case. Numerical Examples illustrate the use of the topological sensitivity in a shape optimisation problem
Abstract FR:
La sensibilité topologique consiste à étudier la variation d'une fonction coût par rapport à la topologie du domaine. C'est l'un des principaux outils de l'optimisation topologique : elle fournit une direction de descente. Le calcul d'un développement asymptotique de la fonction coût repose sur une technique d'état adjoint adaptée à une modification de la topologie. Le travail présenté ici est orienté vers l'étude de la sensibilité topologique de problèmes ayant un second membre non nul et des fonctions coût quelconques. Nous montrons que dans le cas tridimensionnel, l'expression du gradient topologique dépend en général de la forme du trou ou de l'obstacle de perturbation. Cependant, dans le cas particulier du problème de Poisson, cette expression ne dépend pas de l'orientation du trou si la fonction coût est indépendante de Du. Dans le cas bidimensionnel, le développement asymptotique est indépendant de la forme du trou. La technique du gradient topologique permet la résolution de nombreux problèmes avec des algorithmes rapides. A chaque itération, un certain pourcentage de matière est " enlevé " ou " inséré " aux endroits ou la sensibilité topologique est la plus négative. Des exemples numériques sont présentés, notamment le cas d'un fluide visqueux circulant dans une cuve de décantation. On détermine l'emplacement optimal d'obstacles permettant d'approcher au mieux un profil de vitesses imposé dans une région donnée afin de faciliter l'élimination des impuretés