Estimation non-paramétrique dans les problèmes inverses à opérateur bruité
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis focuses on the impact of the imprecision on a linear operator when the latter is of stake in an inverse problem. The usual framework of an inverse problem involves the recovery of an input signal, when one observes its response through a linear operator (the output signal). The output signal is usually observed with an additive random Gaussian noise, and we suppose that the operator is observed with an additive Gaussian noise as well, independent of the former, the error amplitudes being potentially different. We will study more precisely the case of kernel operators, when the kernel is subject to observation noise. This covers the case of periodic Fourier convolution, LaplaceNolterra convolution or spherical convolution. In each of those preceding cases, we develop statistical procedures of estimation, which rely on the adequate treatment of the Galerkin matrix involved when discretizing the inverse problem. More precisely, we study the quadratic risk in the case where the latter matrix is diagonal, block-diagonal or lower triangular Toeplitz. In each case we put into evidence new rates of convergence with an explicit dependency on the two noise amplitudes (noise contaminating the output signal or the kernel) and we prove them to be minimax. Finally, we focus on the specific case of spherical deconvolution and show how the spherical needlets (a kind of wavelet defined on the sphere) allow us to design a procedure which controls the risk measured in Lp norm.
Abstract FR:
Cette thèse étudie l'effet de l'imprécision sur un opérateur intervenant dans la résolution d'un problème inverse. La problématique habituelle des problèmes inverses est l'approximation d'un signal d'entrée à partir de son image par un opérateur régularisant. A l'incertitude habituelle contaminant l'observation du signal de sortie, on ajoute cette erreur commise sur l'opérateur que l'on modélise par un processus Gaussien d'une certaine amplitude, potentiellement différente de la précédente. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas où l'opérateur en question est un opérateur à noyau, lorsque ce dernier est lui même bruité. Ce modèle recouvre par exemple les cas de la convolution de Fourier périodique, de LaplaceNolterra, ou bien la convolution sphérique. Nous développons des procédures statistiques d'estimation dans chacun de ces cas, en traitant de manière adéquate la nouvelle erreur commise sur le noyau selon la forme de la matrice associée à un schéma de Galerkin. Plus précisément, nous étudions le risque quadratique dans le cas où cette dernière est diagonale, diagonale par blocs ou bien triangulaire inférieure et de Toeplitz. Dans chacun de ces cas, nous mettons en évidence de nouvelles vitesses de convergence faisant intervenir de manière explicite les deux paramètres d'incertitude (sur le signal de sortie et sur le noyau) et dont nous prouvons l'optimalité au sens minimax. Enfin, nous étudions spécifiquement le cas de la déconvolution sphérique en mettant à profit les needlets sphériques, sorte d'équivalent d'ondelettes sur la sphère, dans la construction d'une procédure qui traite ce même problème pour un risque en norme Lp.