Algèbres de Hopf combinatoires sur les partitions d'ensembles et leurs généralisations : applications à l'énumération et à la physique théorique
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Abstract EN:
This thesis fits into the field of algebraic and enumerative combinatorics. It is devoted to the study of problems of enumeration using combinatorial Hopf algebras, particularly, the algebra of word symmetric functions WSym. We give noncommutative versions of the Redfield-Pólya theorem in WSym and other combinatorial Hopf algebras as the algebra of biword symmetric functions BWSym. In the second algebra, we give a relevement (version without multiplicities) of this theorem. We construct other Hopf algebras on set partitions and other objects which generealize them. We use these algebras to study noncommutative version of Bell polynomials. These polynomials involve combinatorial objects like set partitions. So it seems natural for us to investigate analogous formulæ in some combinatorial Hopf algebras with bases indexed by objects related to set partitions (set partitions into lists, colored set partitions, etc). Then, we give analogous identities of partial Bell polynomials, binomial functions, Lagrange inversion and Faà di Bruno formula. Finally, we are interested in the combinatorial structures arising in the boson normal ordering problem. We define new combinatorial objects (called B-diagrams). After studying the combinatorics and the enumeration of B-diagrams, we propose two constructions of algebras called : the Fusion algebra defined using formal variables and another algebra constructed directly from B-diagrams. We show the connection between these two algebras and that the algebra of B-diagrams B can be endowed with Hopf structure. We recognise two known combinatorial Hopf subalgebras of B : WSym the algebra of word symmetric functions indexed by set partitions and BWSym the algebra of biword symmetric functions indexed by set partitions into lists.
Abstract FR:
Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la combinatoire algébrique et énumérative. Elle est consacrée à l’étude des problèmes d’énumération en utilisant des algèbres de Hopf combinatoires, en particulier l’algèbre des fonctions symétriques sur les mots WSym. Nous donnons des versions non commutatives du théorème de Redfield-Pólya dans l’algèbre WSym, ainsi que dans d’autres algèbres de Hopf combinatoires comme l’algèbre des fonctions symétriques sur les bi-mots BWSym, où nous donnons un relèvement (décomposition maximale) de ce théorème. Nous construisons d’autres algèbres de Hopf sur les partitions d’ensembles et sur des objets qui les généralisent et nous les utilisons pour l’étude des versions non commutatives des polynômes de Bell qui ont été définis par E. T. Bell et interviennent fortement en combinatoire énumérative. Ces polynômes font intervenir des objets combinatoires comme les partitions d’ensembles. Alors, c’est tout à fait naturel de chercher des analogues de ces identités dans des algèbres dont les bases sont indexées par des objets en lien avec les partitions (partitions en listes, partitions colorées, etc). Puis, nous donnons des analogues de quelques identités concernant les polynômes partiels, des fonctions binomiales et d’autres identités comme la formule d’inversion de Lagrange et la formule de Faà di Bruno. Enfin, nous nous intéressons à l’étude combinatoire des structures algébriques apparaissant dans les problèmes de l’ordre normal des bosons. Nous définissons des nouveaux objets combinatoires (nommés B-diagrammes) et construisons deux algèbres : une algèbre de Hopf construit sur les B-diagrammes et l’algèbre de Fusion qui réalise l’algèbre des B-diagrammes B sur des variables. Nous constatons que pour des cas particuliers des B-diagrammes, nous retrouvons deux sous-algèbres WSym et BWSym isomorphes à B.