Inclusions monotones en dualité et applications
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Le but de cette thèse est de développer de nouvelles techniques d'éclatement d'opérateurs multivoques pour résoudre des problèmes d'inclusion monotone structurés dans des espaces hilbertiens. La dualité au sens des inclusions monotones tient une place essentielle dans ce travail et nous permet d'obtenir des décompositions qui ne seraient pas disponibles via une approche purement primale. Nous développons plusieurs algorithmes à métrique fixe ou variable dans un cadre unifié, et montrons en particulier que de nombreuses méthodes existantes sont des cas particuliers de la méthode explicite--implicite formulée dans des espaces produits adéquats. Les méthodes proposées sont appliquées aux problèmes d'inéquations variationnelles, aux problèmes de minimisation, aux problèmes inverses, aux problèmes de traitement du signal, aux problèmes d’admissibilité et aux problèmes de meilleure approximation. Dans un second temps, nous introduisons une notion de suite quasi-fejérienne à métrique variable et analysons ses propriétés asymptotiques. Ces résultats nous permettent d'obtenir des extensions de méthodes d'éclatement aux problèmes où la métrique varie à chaque itération.
Abstract FR:
The goal of this thesis is to develop new splitting techniques forset-valued operators to solve structured monotone inclusion problemsin Hilbert spaces. Duality plays a central role in this work. Itallows us to obtain decompositions which would not be availablethrough a purely primal approach. We develop several fixed andvariable metric algorithms in a unified framework, and show inparticular that many existing methods are special cases of theforward-backward method formulated in a suitable product space. The proposed methods are applied to variational inequalities, minimization problems, inverse problems, signal processing problems,feasibility problems, and best approximation problems. Next, we introduce the notion of a variable metric quasi-Fejér sequence and analyze its asymptotic properties. These results allow us to obtain extensions of splitting schemes toproblems in which the metric varies at each iteration.