Limite de diffusion de l'équation de Fokker-Planck avec un équilibre à décroissance lente : modèles d'agrégation en dynamique de populations
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis includes two parts. In the first part, we concentrate on the diffusion limit of the kinetic equation of Fokker-Planck in the special case where the equilibria decay towards zero at infinity like a negative power function. If the decay rate is strong enough, we prove that the limit equation is an equation of diffusion. This study uses the method of moments and weighted Sobolev spaces. The second part is devoted to the study of two models which comes from aggregation modelling in biology. We first study the chemotaxis model of Keller-Segel, and focus on the parabolic-elliptic version with nonlinear diffusion. Making use Liapunov functional, we prove the existence of an explicit mass below which the solution exists globally in time. We next study the model of individual clustering introduced by Grindrod in 1988 : we are interested in the existence of the global solution in dimension 1 and 2, for two different choices of the rate of reproduction. We specify the long time behaviour of the solution. Finally, we study the behaviour of the solution in the case of vanishing diffusion.
Abstract FR:
Ce mémoire se compose de deux parties. Dans la première partie, nous étudions la limite de diffusion de l'équation cinétique de type Fokker-Planck dans le cas particulier où les équilibres décroissent polynômialement en vitesse. Si le taux de décroissance est assez fort, nous démontrons que l'équation limite est une équation de diffusion. Cette étude utilise la méthode des moments dans des espace de Sobolev à poids. La seconde partie est consacrée à l'étude de deux modèles issus de la modélisation de l'agrégation en biologie. Tout d'abord, nous étudions le modèle de chimiotactisme de Keller-Segel. Nous considérons la version parabolique-elliptique du système de Keller-Segel avec une diffusion non linéaire critique et dégénérée. En utilisant la fonctionnelle de Liapunov, nous montrons l'existence d'une masse explicite en de ça de laquelle la solution existe globalement en temps. Ensuite, nous passons à l'étude du modèle de regroupement des individus introduit par Grindrod en 1988: nous nous intéressons à l'existence globale de la solution en dimension 1 et 2, en considérant deux choix différents du taux de reproduction. Nous précisons le comportement asymptotique de la solution. Ensuite nous étudions le comportement de la solution dans le cas où le mécanisme d'advection domine celui de diffusion, et plus particulièrement, dans le cas de diffusion évanescente.