Raffinements locaux auto-adaptatifs dans une méthode Galerkin discontinu pour la résolution des équations de Maxwell
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to study some keypoints in order to propose a self-adaptive refinement method for the numerical resolution of time-domain Maxwell's equations with a discontinuous Galerkin scheme. We first put into light numerically an instability phenomenon due to the interpolation operator taking account for the modification of the approximation space from one step to another. This is explained in the 1D case. Then, a new operator is proposed and shown to retrieve asymptotically consistency and stability for the scheme. This has thus been extended to the 3D case. Second part of this work deals with non-conformity on mesh (in the finite element sense) or non-uniform polynomial order applied to the discontinuous Galerkin scheme. To avoid spurious waves that can be excited in such case, we aim at recover the solution from a conformal space. This is done by creating a cleaning operator that allows us to keep the benefits of our original scheme. Explicitation of this operator is given on the 2D Transverse Magnetic Maxwell's equations. Finally, the last part implements and analyses a self-adaptive refinement strategy in the 1D case, to draw conclusions in the future 3D application.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous étudions différents points nécessaires afin de pouvoir proposer une stratégie d'adaptation dynamique de maillage pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires par une méthode Galerkin discontinu. Après avoir mis en évidence numériquement la création d'une instabilité par l'action du changement d'espace d'approximation au cours du calcul liée au choix de l'opérateur utilisé pour effectuer l'interpolation entre deux espaces successifs, nous explicitons ce phénomène dans le cas 1D. Un nouvel opérateur d'interpolation est alors proposé, puis validé numériquement, pour lequel nous démontrons qu'il permet de retrouver asymptotiquement consistance et stabilité pour le schéma. L'extension de l'ensemble de ces résultats au cas 3D est réalisée. La deuxième partie de ce travail s'intéresse à la prise en compte dans le schéma Galerkin discontinu de non-conformités de maillages (au sens des éléments finis) et/ou d'ordres variables. Afin d'éviter d'éventuelles ondes parasites pouvant être générées dans ce cas, nous cherchons à retrouver une résolution dans un espace d'approximation conforme. Ceci est effectué en définissant un opérateur de correction permettant alors de conserver les avantages liés à la construction du schéma sur l'espace non-conforme. Cet opérateur est explicité dans le cas Maxwell 2D Transverse Magnétique. Enfin, dans la dernière partie, nous mettons en œuvre et analysons une stratégie de raffinements auto-adaptative dans le cas 1D afin d'essayer d'en tirer des considérations pratiques pour envisager le passage au 3D.