Modèles probabilistes de feux de forêt sur des graphes infinis
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This work is concerned with a probabilistic study of forest-fire models. The models studied here were introduced in the context of self-organized criticality at the end of the eighties. These models are systems of particles, the trees, defined on connected graphs. Their evolution is governed by two families of Poisson processes, one for the growth of trees, the other one for the ignition of trees by lightning. The influence of lightning is characterized by a parameter lambda > 0. These models were widely studied on Z. However, only the existence and uniqueness of more general infinitevolume forest-fire processes have been proven yet. In this thesis, we studied forest-fire models on Zd for d > 2 and on binary trees, in two directions. The first one is concerned with the existence of stationary measures. The second one is concerned with the study of these processes when the parameter lambda tends to zero. In the first part, we will show the existence of at least one stationary measure for forest-fire processes on Zd, d > 2, for all parameters lambda > 0. The forest-fire processes are Markov processes but not Feller processes, so the usual arguments cannot be used here. Moreover, the geometry of Zd does not allow using the same arguments as for Z. Tools developed while studying these processes on Zd will be used here. In the second part, we will study the behavior of the forest-fire processes on binary trees when the parameter lambda tends to zero. We will begin with the study of a model without any fires, in order to understand better how the clusters of trees grow. We will show a convergence in law of the number of sites of a set construct from a ball of radius and the intersecting clusters, after a time tn > 0, for processes rescaled in space and time. Then, we will add fires and define a modified forest-fire model. In this new model, apart from the cluster of the origin, the clusters evolve under a stationary measure which we expect at the limit in lambda, and not under the dynamic of the initial forest-fire model. For this model, we will show a convergence in law of the rescaled size of the cluster of the origin when it burns for the first time.
Abstract FR:
Cette thèse concerne l'étude de modèles de feux de forêt d'un point de vue probabiliste. Les modèles que nous avons étudiés ont été introduits dans le cadre de l'étude des systèmes critiques auto-organisés à la fin des années 80. Il s'agit de systèmes de particules, les arbres, définis sur un graphe connecté. Leur évolution est régie par deux familles de processus de Poisson, l'une pour la croissance des arbres, l'autre pour leur disparition via l'action de la foudre. L'influence de la foudre est caractérisée par un paramètre lambda > 0. Ces modèles ont été beaucoup étudiés sur Z. Par contre sur des graphes infinis plus généraux, seules son existence et son unicité ont été montrées jusqu'à présent. Dans cette thèse, nous avons étudié ces modèles sur Zd pour d > 2 et sur les arbres binaires, dans deux directions. La première concerne l'existence de mesures invariantes. La deuxième concerne l'étude de ce modèle lorsque le paramètre lambda tend vers 0. Dans la première partie, nous montrerons que pour tous les paramètres lambda > 0, les processus de feux de forêt sur Zd pour d > 2 possèdent au moins une mesure invariante. Les processus de feux de forêt sont des processus de Markov non Feller, donc on ne peut pas appliquer les théorèmes usuels de l'étude des systèmes de particules. De plus, la géométrie de Zd ne permet pas d'utiliser les mêmes arguments que dans le cas de Z. Nous utiliserons des outils développés lors de l'étude de ces modèles sur Zd. Dans une seconde partie, nous nous consacrerons à la problématique de l'existence d'un processus limite lorsque lambda tend vers 0, sur les arbres binaires. Dans un premier temps, nous étudierons un modèle sans feux pour mieux comprendre comment grossissent les composantes connexes d'arbres. En se plaçant dans une nouvelle échelle de temps et d'espace, nous montrerons la convergence en loi de la taille d'un ensemble de sites construit à partir d'une boule de rayon n et des composantes connexes qui l'intersectent, au bout d'un temps t(n) > 0. Dans un deuxième temps, nous rajouterons l'action de feux, en définissant un modèle différent du modèle initial. Dans ce modèle modifié, les composantes connexes autres que celle de l'origine suivront une loi stationnaire à laquelle on s'attend à la limite, et non la dynamique du modèle de feux de forêt initial. Pour ce modèle, nous montrerons la convergence en loi de la taille renormalisée de la composante connexe de l'origine au moment où elle brûle pour la première fois.