Solutions propagatives dans les réseaux hamiltoniens discrets et les systèmes de réaction-diffusion
Institution:
Toulouse, INSADisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this Ph. D. , we study different types of propagating solutions arising in discrete hamiltonian and reaction-diffusion systems. In a first part, we prove existence of travelling breather solutions, which appear as pulsating solitary waves, in Klein-Gordon lattices. We show that the small amplitude solutions lie on a finite-dimensional center manifold. The study of the reduced equation exhibits a generic type of travelling breather with an oscillatory, quasi-periodic tail superposed on a localized central part. Numerical computations confirm this analysis and extend it to high amplitude travelling breather solutions for parameter values which are non accessible by center manifold theory. In a second part, we study several thermo-diffusive systems set in semi-cylinders. Using Leray-Schauder degree theory, we prove that the thermo-diffusive systems under consideration support non trivial fronts. These models involve heat losses since the burnt gases temprature cannot be equal to one. The existence study is then completed by an asymptotic in the limit of this critical value for the temperature.
Abstract FR:
Dans cette thèse, on étudie différents types de solutions mobiles dans les réseaux hamiltoniens discrets et les systèmes de réaction-diffusion. Dans une première partie, on montre l'existence de solutions travelling breathers, qui apparaissent comme des ondes solitaires pulsatoires, pour des chaînes de Klein-Gordon. On prouve que les solutions de petites amplitudes sont sur une variété centrale de dimension finie. L'étude de l'équation réduite sur cette variété permet de dégager un type générique de solutions travelling breathers avec une queue oscillante, quasi -périodique superposée à une partie centrale localisée. Une étude numérique vient corroborer ces résultats et les étend aux travelling breathers de grande amplitude pour des régimes de paramètres qui ne sont pas atteints par les méthodes de variété centrale. Dans une deuxième partie, on étudie les propriétés de modèles thermo-diffusifs posés dans des demi-cylindriques. En utilisant un degré de Leray-Schauder, on montre que les modèles thermo-diffusifs considérés admettent des fronts non triviaux. Ces modèle font intervenir des pertes de chaleur qui interdisent une valeur de température égale à un pour des gaz brûlés. L'étude est donc complétée par une asymptotique lorsque la température des gaz brûlés tend vers cette valeur critique.