[Analyse asymptotique et numérique des problèmes d'acoustique non-linéaire]
Institution:
Saint-EtienneDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Existence and uniqueness of non-linear acoustic wave in media with relaxation problem solution is proved. A homogenized problem is constructed. Its solution existence and uniqueness are demonstrated. Homogenized solution proximity to the exact solution is proved. Asymptotic expansion with respect to the small parameter, integral part factor, is constructed. Its existence and convergence to the exact solution as the parameter tends to zero is proved. For the proofs special solution spaces are constructed. Galerkin approximations method is applied, solution norm estimates are derived of the energy balance equations, a priori estimate of continuous dependence of solution with respect to the discrepancy. Existence of Burgers equation statistical solution is proved. On the assumption of some properties of the source stochastic process the following properties of solution are verified : homogeneity (shift independence) of stochastic measure, stationarity, ergodicity. A new approach is developed : a finite difference scheme corresponding to the problem is used for the proofs. Its solutions are considered as discrete stochastic processes approximating continuous stochastic process of solution
Abstract FR:
On a démontré l'existence et l'unicité de la solution du problème de l'acoustique non-linéaire dans un milieu avec relaxation. Un problème homogénéisé est construit, l'existence et l'unicité de sa solution sont démontrées. On a démontré que la solution homogénéisée est proche de la solution exacte. On a construit un développement asymptotique par rapport au petit paramètre, facteur du terme intégral. On a démontré l'existence du développement et sa convergence vers la solution exacte lorsque le paramètre tend vers zéro. Pour les preuves on a construit les espaces de solutions spéciaux, on a employé une méthode de Galerkin. Les normes de la solution sont estimées à l'aide des équations de balance énergétique. Une estimation a priori de la dépendance continue de la solution par rapport au résidu est démontrée. L'existence de la solution stochastique de l'équation de Burgers est démontrée. En faisant une supposition de certaines propriétés du processus stochastique de départ, on a démontré les propriétés de la solution suivantes : homogénéité (indépendance de translation) de la mesure stochastique, stationnarité, ergodicité. Une approche nouvelle est élaborée. Un schéma aux différences finies correspondant au problème est employé pour les preuves. Les solutions du problème aux différences finies sont considérées comme les processus stochastiques discrets qui approchent le processus stochastique continu de la solution