Estimation non paramétrique en tomographie quantique homodyne
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In the setting of quantum optics, the reconstruction of the quantum state (Wigner function or infinite-dimensional density matrix) of a light beam can be seen as a statistical severely ill-posed inverse problem. First, we propose estimators of the density matrix and the Wigner function respectively, using pattern functions in the first case and kernel functions in the second. We assume that the unknown density matrix belongs to a nonparametric class which corresponds to typical states prepared in the laboratory. We translate these classes in terms of properties of the associated Wigner function. In an other part, we estimate the integrated squared Wigner function by a kernel-based second order U-statistic on a larger regularity class. This quadratic functional is a physical measure of the purity of the state. We deduce an adaptive estimator for the Wigner function that does not depend on the smoothness parameters. In the last part of the thesis, we are interested in the problem of goodness-of-fit testing. We give a testing procedure derived from a projection-type estimator on \textit{pattern} functions. We study the upper bounds of the minimax risk for all our procedures. The density matrix estimation and the testing procedure are implemented and their numerical performances are studied.
Abstract FR:
En optique quantique, la reconstruction de l'état quantique (fonction de Wigner ou matrice de densité infini-dimensionnelle) d'un faisceau de lumière correspond en statistique à un problème inverse très mal posé. Premièrement, nous proposons des estimateurs de la matrice de densité basés sur les fonctions pattern et des estimateurs à noyau de la fonction de Wigner. Nous faisons l'hypothèse que la matrice de densité inconnue appartient à une classe non paramétrique définie en accord avec les exemples étudiés par les physiciens. Nous en déduisons pour la fonction de Wigner associée à cette matrice des propriétés de décroissance rapide et de régularité. Deuxièmement, nous estimons une fonctionnelle quadratique de la fonction de Wigner par une U-statistique d'ordre deux sur une classe plus large. Cette fonctionnelle peut être vue comme une indication sur la pureté de l'état quantique considéré. Nous en déduisons un estimateur adaptatif aux paramètres de régularité de la fonction de Wigner. La dernière partie de ce manuscrit est consacrée au problème de test d'adéquation à la matrice de densité. Cette procédure est construite à partir d'un estimateur de type projection sur les fonctions \textit{pattern}. Nous étudions les bornes supérieures de type minimax de toutes ces procédures. Les procédures d'estimation de la matrice de densité et de test d'adéquation à une matrice de densité sont implémentées et leurs performances numériques sont étudiées.