Abstract EN:

Dans cette thèse, nous proposons une approximation numérique pour la mesure d’équilibre d’une équation différentielle stochastique (EDS) du type McKean Vlasov, lorsque le drift est donné par une fonction avec des propriétés ergodiques, qui est perturbé par un noyau d’interaction non-linéaire Lipschitzien. Nous établissons un théorème d’existence et d’unicité de la mesure d’équilibre, ainsi que la vitesse de convergence exponentielle à cet équilibre. Nous utilisons la méthode basée sur le couplage des variables aléatoires pour obtenir des contractions dans la métrique de Wasserstein, comme l’a fait Cattiaux-Guillin-Malrieu (2006) pour le cas drift de la forme potentielle convexe. Ensuite, à l’aide du système de particules, la propriété de propagation du chaos et du schéma d’Euler pour approximer l’EDS, nous estimons numériquement l’intégrale d’une fonction Lipschitz par rapport à la mesure à temps fixé, avec une erreur d’estimation uniforme en temps. Par conséquent, nous donnons aussi une approximation numérique pour l’intégrale par rapport à la mesure d’équilibre. Finalement, dans le cas unidimensionnel, nous obtenons des estimations de la fonction densité et de la fonction de distribution cumulative de la mesure d’équilibre. Nous utilisons l’algorithme proposé par Bossy-Talay (1996) et nous fournissons la vitesse de convergence optimale de cette approximation, exprimée avec différentes normes. Ce résultat généralise la technique développée dans Bossy (2004) au cas ergodique, où l’ordre de convergence ne doit pas dépendre de l’intervalle de temps considéré.