Abstract FR:

Cette thèse comprend deux parties qui traitent la problématique du smile de volatilité qui apparaît en finance lors de l'évaluation des produits optionnels. Dans la première partie, nous nous intéressons â l'évaluation, via les techniques Monte Carlo, des swaptions Bermudas dans un cadre BGM avec volatilité déterministe et stochastique. Afin de calculer le prix de ce produit, nous testons et comparons plusieurs schémas de discrétisation. L'évaluation d'une swaption Bermuda nécessite de résoudre un problème de temps d'arrêt optimal discret qui est résolu en procédant à une récurrence rétrograde où à chaque étape on compare la valeur intrinsèque à l'espérance des flux futurs conditionnellement à l’information disponible. Longstaff et Schwartz ont proposé une méthode qui consiste à approcher l’espérance conditionnelle par sa projection sur une famille de fonctions. Une des difficultés de l'algorithme est le choix de la base car ce choix est déterminant quant à la qualité de l'estimation. Dans notre travail, nous choisissons d'approcher l'espérance conditionnelle par une famille de fonctions issue de la théorie des réseaux de neurones monocoucbe appelée base de fonctions logistiques. Afin de tester la robustesse de cette base, nous, la comparons aux bases de fonctions de Laguerre et de Legendre en évaluant une Bermuda dans un cadre BGM à volatilité déterministe et stochastique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la modélisation du smile via un mélange de dynamiques D. Brigo et F. Mercurio ont développé un modèle unidimensionnel à volatilité locale paramétrique qui présente l'avantage d'avoir une dynamique ainsi qu'une densité explicites des sous-jacents. Dans le cadre de notre recherche, nous nous consacrons à étendre ce modèle au cas multidimensionnel. Afin de montrer la performance du modèle résultant, que nous nommons Multi Variate Mixture Dynamics (MYMD), nous le comparons à une approche classique en termes d'évaluation des options sur panier. Nous prouvons que le modèle MYMD est une projection markovienne d'un modèle â volatilité incertaine. Nous étudions aussi la structure de dépendance du modèle MVMD et nous la comparons à celle de l'approche classique. Pour ce faire, nous utilisons des coefficients de corrélation non linéaires et non paramétriques tels que le taux de Kendall ou encore le rho de Spearman.