Contributions aux problèmes d'évolution
Institution:
La RochelleDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we are interested in the study of three evolution partial differential equations that are non-local in time and space. The solutions of the three equations can blow-up in a finite time. In the first chapter, the large time behavior of non-negative solutions to a reaction diffusion equation posed in RN with the fractional laplacian and supplemented with an integrable initial condition is studied. We show that the anomalous diffusion term determines the large time asymptotics in the super-critical case, while nonlinear effects dominate in the subcritical and critical case. In the second chapter, we present first a new technique to prove, in a general case, the recent result of Cazenave, Dickstein and Weissler on the blowing-up solutions to a temporally nonlocal nonlinear parabolic equation. Then, we study the blow-up rate and the global existence in time of the solutions. Furthermore, we establish necessary conditions for global existence. In the third chapter , we investigate the local existence and the finite-time blow-up of solutions of a semilinear parabolic system with nonlocal in time nonlinearities. Moreover, we investigate the blow-up rate and the necessary conditions for local and global existence. Finally, in the fourth chapter, we study the local existence solutions of a hyperbolic equation with a nonlocal in time nonlinearity. Moreover, we give a blow-up theorem for the solution under some conditions on the initial data and the exponent of the nonlinear term.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude de trois équations d’évolution aux dérivées partielles non-locales en espace et en temps. Les solutions de ces trois solutions peuvent exploser en temps fini. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons l’équation de la chaleur nonlinéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et obtenons notamment que, dans le cas d’exposant sur-critique, le comportement asymptotique de la solution lorsque t +∞ est déterminé par le terme de diffusion anormale. D’autre part, dans le cas d’exposant sous-critique, l’effet du terme non-linéaire domine. Dans une deuxième partie, nous étudions une équation parabolique avec un laplacien fractionnaire et un terme non-linéaire et non-local en temps. On montre que la solution est globale dans le cas sur-critique pour toute donnée initiale ayant une mesure assez petite, tandis que dans le cas sous-critique, on montre que la solution explose en temps fini pour toute condition initiale positive et non-triviale. Dans ce dernier cas, on cherche le comportement de la norme L1 de la solution en précisant le taux d’explosion lorsque le temps s’approche du temps d’explosion. Nous cherchons aussi les conditions nécessaires pour l’existence locale ou globale de la solution. Une troisième partie est consacrée à une généralisation de la deuxième partie au cas de systèmes de deux equations fortement coupléées avec une diffusion ordinaire. On étudie l’existence locale d’une solution ainsi qu’un résultat d’explosion de la solution. Dans la dernière partie, nous étudions une équation hyperbolique dans RN, pour tout N ≥2, avec un terme non-linéaire non-local en temps. Nous obtenons un résultat d’existence locale d’une solution sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l’espace et de la croissance du terme non-linéaire. De plus on obtient, sous certaines conditions, que la solution explose en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive.