Méthodes mixtes et traitement de verrouillage numérique pour la résolution des inéquations variationnelles
Institution:
Toulouse, INSADisciplines:
Directors:
Abstract EN:
We present the mathematical and numerical analysis of a class of unilateral problems depending on a small nonnegative parameter in a singular way, for which direct numerical approximation can yield a numerical locking phenomenon. It consists in extending some robust methods to variational inequalities, mainly, conforming, nonconforming and mixed methods. In a first part, we give general sufficient conditions on the discret primal problem insuring a convergence in an uniform way relatively to the small parameter. This result permits us to prove the robustess of the approximation of the stiff transmission Signorini problem by low-order methods, in the conforming case with adapted mesh, and in the nonconforming one without any restriction on the mesh. The second part of the thesis is devoted to the approximation of unilateral problem by mixed methods. We give an abstract framework, embodying mixed dual formulation of unilateral contact in elasticity and Signorini problems. We establish existence, uniqueness and stability results. We give also error estimates and convergence results. The application of this study to the Signorini mixed dual approximation and to the mixed approximation of unilateral contact in incompressible elasticity with or without friction, permits us to prove that these schemes are uniformely convergent.
Abstract FR:
Dans ce travail, nous présentons l'analyse mathématique et numérique d'une classe de problèmes unilatéraux où intervient de façon singulières un petit paramètre positif et pour lesquels la résolution numérique directe peut induire un phénomène de verrouillage numérique. Plus précisément, nous étendons aux inéquations variationnelles certaines méthodes robustes, dont l'efficacité est vérifiée dans le cas des équations variationnelles ; ce sont principalement les méthodes conformes ou non et les méthodes mixtes. Dans un cadre général, nous donnons des conditions suffisantes sur le problème discret primal à utiliser qui permettent d'avoir une convergence uniforme par rapport au petit paramètre. L'application de ces résultats généraux montre que la discrétisation du problème de transmission raide de Signorini par les éléments finis de degré peu élevé, conformes sur des maillages adaptés ou non conformes sur des maillages quelconques, conduit à des méthodes sans verrouillage. Ce que confirment les résultats numériques. La suite du travail est consacrée à la résolution des problèmes unilatéraux par les méthodes mixtes. Nous donnons un cadre abstrait, comprenant les formulations mixtes duales du problème de Signorini et celle de contact unilatéral en élasticité avec ou sans frottement. Sous des conditions, qui étendent celles de Brezzi aux inéquations variationnelles, nous établissons des résultats d'existence, d'unicité et de stabilité. Nous donnons aussi des résultats de convergence et des estimations d'erreur dans le cadre d'approximation du problème. L'application de cette étude à l'approximation mixte duale du problème de Signorini et à l'approximation mixte du problème de contact unilatéral en élasticité incompressible avec ou sans frottement, nous permet d'établir des résultats de convergence uniforme pour ces schémas.