Abstract FR:

La notion de quasicristal généralise, du point de vue de l'analyse harmonique et de la géométrie, les réseaux. Dans cette thèse, nous présentons et étudions les propriétés des quasicristaux. Dans la première partie, la théorie mathématique de l’analyse spectrale d’une structure de Delaunay est développée (transformation de Fourier. Analyse de Fourier-Bohr et diffraction). On donne la définition d’un cristal généralisé et la définition d'un quasicristal est présentée avec notamment la "méthode coupe et projection”. Dans la seconde partie, notre propos est de montrer que les quasicristaux sont, d’une part des ensembles de Delaunay très ordonnés, d’autre part constituent la généralisation naturelle des réseaux : on commence par étudier le problème de la formule de Poisson pour un quasicristal en relation avec l’existence de mesures presque périodiques portées par un quasicristal. Puis nous montrons que l'analyse de Fourier-Bohr et la diffraction d'un quasicristal sont explicites. Nous développons ensuite la théorie de la dualité pour les quasicristaux et ses liens avec la figure de diffraction sont étudiés. On termine par l’étude des autosimilarités des quasicristaux et notamment les liens avec les nombres algébriques. La troisième partie est consacrée à la construction de bases d'ondelettes adaptées à un quasicristal autosimilaire. On obtient des ondelettes régulières et à décroissance exponentielle dans le cas multidimensionnel et des ondelettes à support compact en dimension un. On construit ensuite des ondelettes de Haar associées à un pavage autosimilaire et apériodique. Nous terminons par la construction de structures obliques (frames) adaptées à la méthode ” coupe et projection” des quasicristaux.