Abstract FR:

Ce travail a pour objet l'étude de problèmes de Dirichlet hyperboliques non linéaires du premier ordre, associés à une contrainte forcée d'obstacle unilatéral sur un ouvert borné. Lorsque la fonction-obstacle est régulière et vérifie la condition aux limites, on ramène cette étude, par translation, à celle d'une équation de transport avec terme de réaction, associée à une contrainte de positivité et à des conditions de bord de Dirichlet homogènes. On donne une formulation faible entropique contrôlant les discontinuités le long de chaque onde de chocs et le long de la frontière libre, pour laquelle on établit un résultat d'existence et d'unicité. La solution est d'abord obtenue par la méthode de pénalisation, puis par perturbations singulières du problème du premier ordre au moyen d'inéquations de type parabolique dégénéré ou non, associées à la même contrainte de positivité. Enfin, la régularité et le comportement au bord de la fonction-obstacle sont affaiblis ; l'argument de translation ne peut alors être repris et l'opérateur pénalisant dépend des variables de temps et d'espace. Cette difficulté n'a permis de développer la méthode de pénalisation qu'en dimension d'espace 1