Modélisation mathématique des déplacements d'animaux et dérivation de modèles macroscopiques
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The modeling of animals displacements can occur at two different scales. One may either describes the trajectories of each individual using the so-called individual based models (at a "microscopic" scale), or we can describe the dynamics of the all group with "macroscopic" quantities (density, flux. . . ). In this thesis, we want to connect these two descriptions, the microscopic and the macroscopic scale. Therefore, we can link individual and global dynamics. In a first part, we have introduced a new model for fish displacement called "Persistent Turning Walker" (PTW) based on experimental data. We have given two methods to derive a diffusion equation from this model, a method using tools from functional analysis and a second method using probabilistic tools. The originality of the PTW model mainly relies in the use of curvature to describe individual displacement, this novelty has been used to extend other types of models and to analyse experimental trajectories. In a second part, we have studied the so-called Vicsek model which is an individual based model widespread used in the modeling of animals displacements. We have derived for the first time a macroscopic model from this model (a non-conservative hyperbolic system with a geometric constraint). The numerical simulations of the macroscopic model obtained have shown the relevance of the macroscopic model to describe the microscopic dynamics of the Vicsek model at large scales. Key words : Mathematical biology, Individual based model, Stochastic diffential equation, Kinetic equation, Asymptotic analysis, Diffusion approximation, Hyperbolic systems.
Abstract FR:
La modélisation des déplacements d'animaux peut se faire à deux échelles différentes. On peut soit décrire les trajectoires de chaque individu séparément en utilisant des modèles dit individu centré (échelle "microscopique"), ou bien on peut décrire la dynamique collective du groupe d'individus au moyen de quantités "macroscopiques" (densité, flux. . . ). Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à relier ces deux échelles de description, à savoir dériver des modèles macroscopiques à partir de modèles microscopiques. Cette approche permet de relier dynamique individuelle et dynamique collective. Nous nous sommes tout d'abord intéressé à un nouveau modèle de déplacement de poisson appelé "Persistent Turning Walker" (PTW) introduit à partir de données expérimentales. Nous avons donnés deux méthodes pour dériver une équation de diffusion à partir de ce modèle, une méthode utilisant des outils d'analyse fonctionnelle et une deuxième méthode utilisant des outils probabilistes. L'originalité du modèle PTW réside principalement dans l'utilisation de la courbure pour décrire le déplacement individuel, cette nouveauté permet d'étendre d'autres types de modèles ainsi que l'analyse statistique de trajectoires expérimentales. Dans un deuxième temps, nous avons étudié le modèle dit de Vicsek qui est un modèle individu centré très répandu dans la modélisation de déplacements d'animaux. Nous avons pour la première fois dérivé un modèle macroscopique à partir de ce modèle (un système hyperbolique non-conservatif avec une contrainte géométrique). Les simulations numériques du modèle macroscopique obtenu nous ont ensuite montré la pertinence du modèle macroscopique pour décrire la dynamique microscopique du modèle Vicsek à grandes échelles. Mots clés : Mathématiques et Biologie, Modèle Individu Centré, Équations Différentielles Stochastiques, Équations Cinétiques, Analyse Asymptotique, Approximation Diffusion, Systèmes Hyperboliques.